Question

【題目】如圖，△ABC是直角邊長為1cm的等腰直角三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間為t（s），解答下列各問題：

（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？

（2）設四邊形APQC的面積為y（cm2），求y與t的關系式；是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝－1，2－；（2）不存在t的值，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的二分之一.

【解析】

（1）分兩種情形分別求解即可；

（2）根據S四邊形APQC=S△ABC-S△PBQ求解即可；根據四邊形APQC的面積是△ABC面積的二分之一，列出方程求解即可；

解：（1）根據題意，BP＝1－t，BQ＝t.

當∠BQP＝90°時，BQ2＋PQ2＝BP2.

因為△ABC是等腰直角三角形，所以∠B＝45°，所以∠BPQ＝45°，所以∠B＝∠BPQ，所以BQ＝QP.

所以2BQ2＝BP2.

所以2t2＝（1－t）2.

解這個方程，得

　 t1＝－1，t2＝－－1＜0，舍去.

當∠BPQ＝90°時，BP2＋PQ2＝BQ2.　

因為△ABC是等腰直角三角形，所以∠B＝45°，所以∠BQP＝45°，所以∠B＝∠B QP，所以BP＝QP.

所以2BP2＝BQ2.所以2（1－t）2＝t2.

解這個方程，得　t1＝2－，t2＝2＋，因為t≤1，所以t2舍去.

綜上，t＝－1，2－.

（2）如圖，過點P作PH⊥BC于點H.所以BH2＋PH2＝BP2.

根據題意，BP＝1－t，BQ＝t.

因為△ABC是等腰直角三角形，所以∠B＝45°，所以∠BPH＝45°，所以BH＝PH.

所以2PH2＝BP2，即PH＝BP.

所以PH＝1－t，解得，PH＝（1－t）.

因為S四邊形APQC＝S△ABC－S△PBQ.

所以y＝AB×AC－BQ×PH.

　　　y＝×1×1－t×（1－t）

y＝.

不存在t的值，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的二分之一.

理由如下：

因為S△ABC＝×1×1＝.

所以＝×.

整理，得

　　　　＝0.

△＝－4××1＝2－4＜0，

所以這個一元二次方程無實數解.

所以，不存在t的值，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的二分之一.