【題目】如圖,已知,,,斜邊,將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,連接.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿方向勻速行動(dòng),速度為;同時(shí),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為;當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng),另一個(gè)點(diǎn)也停讓運(yùn)動(dòng).連接,,交于點(diǎn).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,解答下列問題:
(1)當(dāng)為何值時(shí),平分?
(2)設(shè)四邊形的面積為,求與的函教關(guān)系式;
(3)在運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)時(shí),求四邊形的面積;
(4)在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻,使點(diǎn)為線段的中點(diǎn)?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2);(3);(4)存在,,理由見解析
【解析】
(1)當(dāng)平分時(shí),≌,得到AO=NO,繼而問題得解;
(2)由,進(jìn)而求解;
(3)關(guān)鍵當(dāng)時(shí),得到,建立方程解得t的值繼而求解;
(4)關(guān)鍵是過點(diǎn)C作CG//OB,得到∽,有,建立關(guān)于t的方程求解即可.
解:(1)當(dāng)平分時(shí),
∵∠AMO=∠NMO,MO=MO,∠AOB=∠COD,
∴≌(ASA),
∴AO=NO,
∵,,,,
∴NO=AO=,
∴2t=4
∴
(2)如圖,分別為的邊OM,ON上的高
∵∠AOM=∠NOM=60°
∴,,
OM=4+t,ON=2t,
∴
(3)由知,
,MA=OM-DA,而OA=cos60°×AO=2
∴
∴
∴
∴
(4)存在,理由如下
如圖過點(diǎn)C作CG//OB,交MN的延長線于點(diǎn)G ,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,PD=PC
≌
∴MD=CG=t,
由CG//OB,易知∽
又∵,
而ON=2t,CN=8-2t,OM=OD+DM=4+t,
∴
解得:,
經(jīng)檢驗(yàn),是原方程的解,
故存在某一時(shí)刻,使點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1所示,在正方形ABCD和正方形中,,連結(jié).
(1)問題發(fā)現(xiàn):_________;
(2)拓展探究:將正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為,連結(jié),試判斷:當(dāng)≤時(shí),的值有無變化?請(qǐng)僅就圖2中的情形給出你的證明;
(3)問題解決:請(qǐng)直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將正比例函數(shù)y=kx(k是常數(shù),k≠0)的圖象,沿著y軸的一個(gè)方向平移|k|個(gè)單位后與x軸、y軸圍成一個(gè)三角形,我們稱這個(gè)三角形為正比例函數(shù)y=kx的坐標(biāo)軸三角形,如果一個(gè)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限,且它的坐標(biāo)軸三角形的面積為5,那么這個(gè)正比例函數(shù)的解析式是__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上,AD與過點(diǎn)C的切線垂直,垂足為點(diǎn)D,AD交⊙O于點(diǎn)E.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)連接BC,若cos∠CAD=,⊙O的半徑為5,求CD、AE的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將圖中的A型、B型、C型矩形紙片分別放在3個(gè)盒子中,盒子的形狀、大小、質(zhì)地都相同,再將這3個(gè)盒子裝入一只不透明的袋子中.
(1)攪勻后從中摸出1個(gè)盒子,求摸出的盒子中是型矩形紙片的概率;
(2)攪勻后先從中摸出1個(gè)盒子(不放回),再從余下的兩個(gè)盒子中摸出一個(gè)盒子,求2次摸出的盒子的紙片能拼成一個(gè)新矩形的概率(不重疊無縫隙拼接).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)疫情期間為了切實(shí)抓好“停課不停學(xué)”活動(dòng),借助某軟件平臺(tái)隨機(jī)抽取了該校部分學(xué)生的在線學(xué)習(xí)時(shí)間,并將結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)你根據(jù)以上信息回答下列問題
(1)本次調(diào)查的人數(shù)為 , 學(xué)習(xí)時(shí)間為7小時(shí)的所對(duì)的圓心角為 ;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若全校共有學(xué)生1800人,估計(jì)有多少學(xué)生在線學(xué)習(xí)時(shí)間不低于8個(gè)小時(shí).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)E、F分別是邊AC、BC上的動(dòng)點(diǎn),且EF//AB,點(diǎn)C關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)D恰好落在△ABC的內(nèi)角平分線上,則CD長為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),把△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AO′B′,則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓錐的軸截面是邊長為6cm的正三角形ABC,P是母線AC的中點(diǎn).則在圓錐的側(cè)面上從B點(diǎn)到P點(diǎn)的最短路線的長為_____.
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