【題目】如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上,AD與過點(diǎn)C的切線垂直,垂足為點(diǎn)D,AD交⊙O于點(diǎn)E.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)連接BC,若cos∠CAD=,⊙O的半徑為5,求CD、AE的值.
【答案】(1)見解析;(2)CD=,AE=.
【解析】
(1)連接OC,如圖,利用切線的性質(zhì)得OC⊥CD,則OC∥AD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠2=∠3,加上∠1=∠3,所以∠1=∠2;
(2)連接BC、BE,BE交OC于F,如圖,利用圓周角定理得到∠AEB=∠ACB=90°,在Rt△ACB中利用余弦定義可計(jì)算出AC=8,則在Rt△ACD中可計(jì)算出AD= ,從而利用勾股定理計(jì)算出CD= ,利用四邊形DEFC為矩形得到EF=CD=,OF⊥BE,然后根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AE.
(1)證明:連接OC,如圖,
∵CD為切線,
∴OC⊥CD,
∵AD⊥CD,
∴OC∥AD,
∴∠2=∠3,
∵OC=OA,
∴∠1=∠3,
∴∠1=∠2,
∴AC平分∠DAB;
(2)解:連接BC、BE,BE交OC于F,如圖,
∵AB為直徑,
∴∠AEB=∠ACB=90°,
在Rt△ACB中,∵cos∠1=cos∠2=,
∴AC= ×10=8,
在Rt△ACD中,cos∠2== ,
∴AD=×8=,
∴CD=,
易得四邊形DEFC為矩形,
∴EF=CD=,OF⊥BE,
∴BE=2EF= ,
在Rt△ABE中,AE=,
∴CD=,AE= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,∠ABC=90°.
(1)尺規(guī)作圖:按下列要求完成作圖(保留作圖痕跡,請標(biāo)明字母)
①作線段AC的垂直平分線l,交AC于點(diǎn)O;
②連接BO并延長,在BO的延長線上截取OD,使得OD=OB;
③連接DA、DC.
(2)判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,中,,,.點(diǎn)從出發(fā)沿向運(yùn)動,速度為每秒,點(diǎn)是點(diǎn)以為對稱中心的對稱點(diǎn),點(diǎn)運(yùn)動的同時(shí),點(diǎn)從出發(fā)沿向運(yùn)動,速度為每秒,當(dāng)點(diǎn)到達(dá)頂點(diǎn)時(shí),同時(shí)停止運(yùn)動,設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為秒.
(1)當(dāng)為何值時(shí),?
(2)設(shè)四邊形的面積為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(3)四邊形面積能否是面積的?若能,求出此時(shí)的值;若不能,請說明理由;
(4)當(dāng)為何值時(shí),為等腰三角形?(直接寫出結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD的位置如圖所示,解答下列問題:
(1)將四邊形ABCD先向左平移4個(gè)單位,再向下平移6個(gè)單位,得到四邊形A1B1C1D1,畫出平移后的四邊形A1B1C1D1;
(2)將四邊形A1B1C1D1繞點(diǎn)A1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到四邊形A1B2C2D2,畫出旋轉(zhuǎn)后的四邊形A1B2C2D2,并寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(﹣3,0)兩點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸與C點(diǎn),在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得△QAC的周長最?若存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P,使△PBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若沒有,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,對折矩形紙片,使與重合,得到折痕,然后把再對折到,使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處,若,則的長度為( )
A.1B.C.D.2.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,,,斜邊,將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,連接.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿方向勻速行動,速度為;同時(shí),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿方向勻速運(yùn)動,速度為;當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動,另一個(gè)點(diǎn)也停讓運(yùn)動.連接,,交于點(diǎn).設(shè)運(yùn)動時(shí)間為,解答下列問題:
(1)當(dāng)為何值時(shí),平分?
(2)設(shè)四邊形的面積為,求與的函教關(guān)系式;
(3)在運(yùn)動過程中,當(dāng)時(shí),求四邊形的面積;
(4)在運(yùn)動過程中,是否存在某一時(shí)刻,使點(diǎn)為線段的中點(diǎn)?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD是AB邊上的中線,點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C、D重合),連接BE,作EF⊥BE與AC的延長線交于點(diǎn)F,與BC交于點(diǎn)G,連接BF.
(1)求證:△CFG∽△EBG;
(2)求∠EFB的度數(shù);
(3)求的值;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),A,B為x軸上兩點(diǎn),以AB為直徑的⊙M交y軸于C,D兩點(diǎn),C為的中點(diǎn),弦AE交y軸于點(diǎn)F,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),CD=8
(1)求⊙M的半徑;
(2)動點(diǎn)P在⊙M的圓周上運(yùn)動.
①如圖1,當(dāng)FP的長度最大時(shí),點(diǎn)P記為P,在圖1中畫出點(diǎn)P0,并求出點(diǎn)P0橫坐標(biāo)a的值;
②如圖1,當(dāng)EP平分∠AEB時(shí),求EP的長度;
③如圖2,過點(diǎn)D作⊙M的切線交x軸于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A,B不重合時(shí),請證明為定值.
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