Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)為a的點(diǎn) A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

（1）設(shè)，點(diǎn)（4,2）在函數(shù) ， 的圖像上.

①分別求函數(shù) ，的表達(dá)式；

②直接寫出使 成立的的范圍；

（2）如圖①，設(shè)函數(shù) ，的圖像相交于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，△的面積為16，求 的值；

（3）設(shè)，如圖②，過點(diǎn)作 軸，與函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，以為一邊向右側(cè)作正方形，試說明函數(shù)的圖像與線段的交點(diǎn)一定在函數(shù)的圖像上.

Answer 1

【答案】(1)①；②2＜x＜4；(2)k=6;(3)見解析.

【解析】

（1）由已知代入點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）面積問題可以轉(zhuǎn)化為△AOB面積，用a、k表示面積問題可解；
（3）設(shè)出點(diǎn)A、A′坐標(biāo)，依次表示AD、AF及點(diǎn)P坐標(biāo)．

（1）解：∵點(diǎn)B（4，2） 在函數(shù) ， 的圖像上.∴k=4×2=8∴
∵點(diǎn)A在 上∴x=a=2，y=4∴點(diǎn)A（2,4）
∵A和點(diǎn)A'關(guān)于原點(diǎn)對稱
∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（-2，-4）
∵一次函數(shù)y2=mx+n的圖像經(jīng)過點(diǎn)A'和點(diǎn)B

解得： ∴y2=x-2；
②由圖像可知，當(dāng) 時(shí)，y1=圖象在y2=x-2圖象上方，且兩函數(shù)圖象在x軸上方，
∴由圖象得： 2＜x＜4；
（2）解：）分別過點(diǎn)A、B作AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D，連BO

∵O為AA′中點(diǎn)
S△AOB=S△ABA′=8
∵點(diǎn)A、B在雙曲線上
∴S△AOC=S△BOD
∴S△AOB=S四邊形ACDB=8
由已知點(diǎn)A、B坐標(biāo)都表示為（a，）（3a，）
∴×(+)×2a＝8
解得k=6；

（3）解：設(shè)A(a ， )，則A′(﹣a ，﹣)，代入得 ，
∴ ，
∴D(a，)
∴AD＝ ，

∵AD=AF，
∴ ，代入得 ，即P(，)
將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入 得縱坐標(biāo)為，可見點(diǎn)P一定在函數(shù)的圖像上．

故答案為(1)①；②2＜x＜4；(2)k=6;(3)見解析.