【題目】如圖,四邊形OABC是邊長(zhǎng)為4的正方形,點(diǎn)P為OA邊上任意一點(diǎn)(與點(diǎn)O、A不重合),連接CP,過點(diǎn)P作PM⊥CP交AB于點(diǎn)D,且PM=CP,過點(diǎn)M作MN∥AO,交BO于點(diǎn)N,連結(jié)ND、BM,設(shè)OP=t.

(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示);
(2)試判斷線段MN的長(zhǎng)度是否隨點(diǎn)P的位置的變化而改變?并說明理由.
(3)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形BNDM的面積最;
(4)在x軸正半軸上存在點(diǎn)Q,使得△QMN是等腰三角形,請(qǐng)直接寫出不少于4個(gè)符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用含t的式子表示).

【答案】
(1)

解:如圖1所示,作ME⊥OA于點(diǎn)E,

∴∠MEP=∠POC=90°,

∵PM⊥CP,

∴∠CPM=90°,

∴∠OPC+∠MPE=90°,

又∵∠OPC+∠PCO=90°,

∴∠MPE=∠PCO,

∵PM=CP,

∴△MPE≌△PCO(AAS),

∴PE=CO=4,ME=PO=t,

∴OE=4+t,

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4+t,t)(0<t<4)


(2)

解:線段MN長(zhǎng)度不變,

理由:∵OA=AB=4,

∴點(diǎn)B(4,4),

∴直線OB的解析式為:y=x,

∵點(diǎn)N在直線OB上,MN∥OA,M(4+t,t),

∴點(diǎn)N(t,t),

∵M(jìn)N∥OA,M(4+t,t),

∴MN=|(4+t)﹣t|=4,

即MN的長(zhǎng)度不變


(3)

解:由(1)知,∠MPE=∠PCO,

又∵∠DAP=∠POC=90°,

∴△DAP∽△POC,

,

∵OP=t,OC=4,

∴AP=4﹣t,

,得AD= ,

∴BD=4﹣ = ,

∵M(jìn)N∥OA,AB⊥OA,

∴MN⊥BD,

= = ,

∴當(dāng)t=2時(shí),四邊形BNDM的面積最小,最小值6


(4)

解:在x軸正半軸上存在點(diǎn)Q,使得△QMN是等腰三角形,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:Q1(t+2,0),Q2(4+t﹣ ,0),Q3(4+t+ ,0)Q4(t+ ,0)其中(0<t<4),Q5(t﹣ ,0)

理由:當(dāng)(2)可知,OP=t(0<t<4),MN=PE=4,MN∥x軸,所以共分為以下幾種請(qǐng):

第一種情況:當(dāng)MN為底邊時(shí),作MN的垂直平分線,與x軸的交點(diǎn)為Q1,如圖2所示

=2,

∴OQ1=t+2,

∴Q1(t+2,0)

第二種情況:如圖3所示,當(dāng)MN為腰時(shí),以M為圓心,MN的長(zhǎng)為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)Q2、Q3,連接MQ2、MQ3,則MQ2=MQ3=4,

∴Q2E= ,

∴OQ2=OE﹣Q2E=4+t﹣ ,

∴Q2(4+t﹣ ,0),

∵Q3E=Q2E,

∵OQ3=OE+Q3E=4+t+

∴Q3(4+t+ ,0);

第三種情況,當(dāng)MN為腰時(shí),以N為圓心,MN長(zhǎng)為半徑畫圓弧交x軸正半軸于點(diǎn)Q4,

當(dāng)0<t<2 時(shí),如圖4所示,

則PQ4= =

∴OQ4=OP+PQ4=t+ ,

即Q4 ,0).

當(dāng)t=2 時(shí),

則ON=4,此時(shí)Q點(diǎn)與O點(diǎn)重合,舍去;

當(dāng)2 <t<4時(shí),如圖5,以N為圓心,MN為半徑畫弧,與x軸的交點(diǎn)為Q4,Q5

Q4的坐標(biāo)為:Q4 ,0).

OQ5=t﹣

∴Q5(t﹣ ,0)

所以,綜上所述,當(dāng)0<t<4時(shí),在x軸的正半軸上存在5個(gè)點(diǎn)Q,分別為Q1(t+2,0),Q2(4+t﹣ ,0),Q3(4+t+ ,0)Q4(t+ ,0),Q5(t﹣ ,0)使△QMN是等腰三角形


【解析】(1)作ME⊥OA于點(diǎn)E,要求點(diǎn)M的坐標(biāo)只要證明△OPC≌△EM即可,根據(jù)題目中的條件可證明兩個(gè)三角形全等,從而可以得到點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)首先判斷是否變化,然后針對(duì)判斷結(jié)合題目中的條件說明理由即可解答本題;(3)要求t為何值時(shí),四邊形BNDM的面積最小,只要用含t的代數(shù)式表示出四邊形的面積,然后化為頂點(diǎn)式即可解答本題;(4)首先寫出符合要求的點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后根據(jù)寫出的點(diǎn)的坐標(biāo)寫出推導(dǎo)過程即可解答本題.本題考查四邊形綜合題,解題的關(guān)鍵是明確題意,畫出相應(yīng)的圖象,找出所求問題需要的條件,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

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A.1
B.2
C.4
D.8

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(2)找出圖中所有的全等三角形,用符號(hào)表示,并對(duì)其中的一組加以證明;

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(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)求直線m,n的函數(shù)表達(dá)式;

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①a﹣b=0;
②當(dāng)﹣2<x<1時(shí),y>0;
③四邊形ACBD是菱形;
④9a﹣3b+c>0
你認(rèn)為其中正確的是( )

A.②③④
B.①②④
C.①③④
D.①②③

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