【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,點(diǎn),在軸上方,且四邊形的面積為32,
(1)若四邊形是菱形,求點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)若四邊形是平行四邊形,如圖1,點(diǎn),分別為,的中點(diǎn),且,求的值.
(3)若四邊形是矩形,如圖2,點(diǎn)為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn),為邊上的動(dòng)點(diǎn),求的最小值.
【答案】(1)(-4,4);(2);(3)
【解析】
(1)作DH⊥AB,先求出AB,根據(jù)菱形性質(zhì)得AD=AB=8,再根據(jù)勾股定理求出AH,再求OH;
(2)延長(zhǎng)EF與x軸相交于G,作EP⊥AB,根據(jù)平行線性質(zhì)證△ECF≌△GBF(AAS),得BG=EC=4,EF=FG,AG=AB+BG=12,EG=2EF,根據(jù)勾股定理得:(AE+EG)2-2AEEG=AG2,根據(jù)三角形面積公式得:所以(AE+EG)2-2×48=122;
(3)作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),作,交AC于點(diǎn)M,此時(shí)BM+MN最小,連接;根據(jù)矩形性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得:AB=8,BC=,AC=,求得=,=AB=8,,設(shè)AN=x,則BN=8-x,由勾股定理可得:,可進(jìn)一步求出.
(1)作DH⊥AB
因?yàn)?/span>,,
所以AB=4-(-4)=8,
因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是菱形,
所以AD=AB=8,
因?yàn)樗倪呅?/span>的面積為32,
所以DH=32÷8=4
所以根據(jù)勾股定理可得:AH=
所以OH=AH-OA=-4
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)是(-4,4)
(2)延長(zhǎng)EF與x軸相交于G,作EP⊥AB
因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是平行四邊形,
所以DC=AB=8,DC//AB
所以∠C=∠CBG,∠CEF=∠BGF,
因?yàn)?/span>E,F分別是CD,AB的中點(diǎn),
所以DE=CE=4,CF=BF,
所以△ECF≌△GBF(AAS)
所以BG=EC=4,EF=FG
所以AG=AB+BG=12,EG=2EF,
又因?yàn)?/span>AF⊥EF
所以AE2+EG2=AG2
所以(AE+EG)2-2AEEG=AG2
由(1)知EP=DH=4
所以根據(jù)三角形面積公式得:
所以
所以(AE+EG)2-2×48=122
所以
所以AE+2EF=
(3)作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),作,交AC于點(diǎn)M,此時(shí)BM+MN最小;連接.
因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是矩形,
所以由已知可得:AB=8,BC=
所以AC=
所以在三角形ABC中,AC上的高是:
因?yàn)?/span>AC是的對(duì)稱(chēng)軸,
所以=,=AB=8,
設(shè)AN=x,則BN=8-x,由勾股定理可得:
解得x=,
所以
所以BM+MN=
即BM+MN的最小值是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,且CD=24,點(diǎn)M在⊙O上,MD經(jīng)過(guò)圓心O,聯(lián)結(jié)MB.
(1)若BE=8,求⊙O的半徑;
(2)若∠DMB=∠D,求線段OE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】十一期間,小明一家一起去旅游,如圖是小明設(shè)計(jì)的某旅游景點(diǎn)的圖紙(網(wǎng)格是由相同的小正方形組成的,且小正方形的邊長(zhǎng)代表實(shí)際長(zhǎng)度100m,在該圖紙上可看到兩個(gè)標(biāo)志性景點(diǎn)A,B.若建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,則點(diǎn)A(﹣3,1),B(﹣3,﹣3),第三個(gè)景點(diǎn)C(1,3)的位置已破損.
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系,并標(biāo)出景點(diǎn)C的位置;
(2)平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)為點(diǎn)O,△ACO是直角三角形嗎?請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起.現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng),將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O(點(diǎn)O也是BD中點(diǎn))按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).
(1)如圖2,當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M,GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí),通過(guò)觀察或測(cè)量BM,F(xiàn)N的長(zhǎng)度,猜想BM,F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí),線段FE的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M,線段BD的延長(zhǎng)線與GF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N,此時(shí),(1)中的猜想還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】十一期間,小明一家一起去旅游,如圖是小明設(shè)計(jì)的某旅游景點(diǎn)的圖紙(網(wǎng)格是由相同的小正方形組成的,且小正方形的邊長(zhǎng)代表實(shí)際長(zhǎng)度100m,在該圖紙上可看到兩個(gè)標(biāo)志性景點(diǎn)A,B.若建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,則點(diǎn)A(﹣3,1),B(﹣3,﹣3),第三個(gè)景點(diǎn)C(1,3)的位置已破損.
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系,并標(biāo)出景點(diǎn)C的位置;
(2)平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)為點(diǎn)O,△ACO是直角三角形嗎?請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若點(diǎn)O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底邊BC=2,則△ABC的面積為( )
A. 2+ B. C. 2+或2- D. 4+2或2-
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí),則( 。
A. ac=﹣1 B. ac=1 C. ac=±1 D. 無(wú)法確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綜合與探究
如圖1,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A(﹣1,0),B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.D為坐標(biāo)平面第四象限內(nèi)一點(diǎn),且使得△ABD與△ABC全等.
(1)求拋物線的表達(dá)式.
(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo),并判斷四邊形ACBD的形狀.
(3)如圖2,將△ABD沿y軸的正方形以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移,得到△A′B′D′,A′B′與BC交于點(diǎn)E,A′D′與AB交于點(diǎn)F.連接EF,AB′,EF與AB′交于點(diǎn)G.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(0≤t≤2)秒.
①當(dāng)直線EF經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)T時(shí),請(qǐng)求出此時(shí)t的值;
②請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向55°,距離燈塔為2海里的點(diǎn)A處.如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東位置,海輪航行的距離AB長(zhǎng)是( )
A. 2海里 B. 2sin 55°海里
C. 2cos 55°海里 D. 2tan 55°海里
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