【題目】綜合與探究
如圖1,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A(﹣1,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C,連接AC,BC.D為坐標(biāo)平面第四象限內(nèi)一點,且使得△ABD與△ABC全等.
(1)求拋物線的表達(dá)式.
(2)請直接寫出點D的坐標(biāo),并判斷四邊形ACBD的形狀.
(3)如圖2,將△ABD沿y軸的正方形以每秒1個單位長度的速度平移,得到△A′B′D′,A′B′與BC交于點E,A′D′與AB交于點F.連接EF,AB′,EF與AB′交于點G.設(shè)運動的時間為t(0≤t≤2)秒.
①當(dāng)直線EF經(jīng)過拋物線的頂點T時,請求出此時t的值;
②請直接寫出點G經(jīng)過的路徑的長.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)D(3,﹣2).四邊形ACBD是矩形,理由見解析;(3)①t的值為;②點G經(jīng)過的路徑的長為1.
【解析】
(1)將A點和B點坐標(biāo)代入y=ax2+bx+2得a、b的方程組,解此方程組即可得答案,
(2)先利用勾股定理的逆定理證明△ACB為直角三角形,∠ACB=90°,根據(jù)△ABD與△ABC全等可知AC=BD,BC=AD,則可證明四邊形ABCD為矩形;過點D作DM⊥x軸于M,通過證明△COB≌△DMA,即可求出D點坐標(biāo),
(3)①利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到頂點T的坐標(biāo)為();可得直線BC的解析式為y=﹣x+2,直線AD的解析式為y= -x﹣,利用直線的平移得到直線A′D′的解析式為y=﹣x﹣+t,直線A′B′的解析式為y=t,則F(2t﹣1,0),E(4﹣2t,t),接著利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式為y=,然后把T點坐標(biāo)代入得到關(guān)于t的方程,然后解此方程即可;
②先求出直線AB′的解析式為y=,再解方程組 得G(),利用G點的坐標(biāo)特征可判斷點G在直線x=,然后利用0≤t≤2得到點G經(jīng)過的路徑的長
(1)將A(﹣1,0),B(4,0)兩點坐標(biāo)代入y=ax2+bx+2得 ,解得,
∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+x+2;
(2)D(3,﹣2).四邊形ACBD是矩形,理由如下:
當(dāng)x=0時,得y=2,
∴OC=2,由A(﹣1,0),B(4,0)得OA=1,OB=4.
∴AC2=12+22=5,BC2=22+42=20,AB2=52=25,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ACB為直角三角形,∠ACB=90°,
∵△ABD與△ABC全等,
∴AC=BD,BC=AD,
∴四邊形ABCD為平行四邊形,
而∠ACB=90°,
∴四邊形ABCD為矩形.
如圖,過點D作DM⊥x軸于M,
∵∠COB=∠AMD=90°,∠CBA=∠DAB,BC=AD,
∴△COB≌△DMA,
∴AM=OB,OC=DM=2,
∴OM=AM-1=OB-1=3
∴D(3,-2)
(3)①∵y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣)2+,
∴頂點T的坐標(biāo)為();
∵B(4,0) , C(0,2), A(-1,0) D(3,-2)
∴直線BC的解析式為y=﹣x+2,直線AD的解析式為y=﹣x﹣,
∵直線AD向上平移t個單位得到A′D′,直線AB向上平移t個單位得到A′B′,
∴直線A′D′的解析式為y=﹣x﹣+t,直線A′B′的解析式為y=t,
當(dāng)y=0時,﹣ x﹣+t=0,解得x=2t﹣1,則F(2t﹣1,0),
當(dāng)y=t時,﹣ x+2=t,解得x=4﹣2t,則E(4﹣2t,t),
設(shè)直線EF的解析式為y=mx+n,
把E(4﹣2t,t),F(xiàn)(2t﹣1,0)代入得 ,解得 ,
∴直線EF的解析式為y=,
把T()代入得,
整理得16t2﹣120t+125=0,解得t1=,t2=(舍去),
∴此時t的值為;
②∵直線AB向上平移t個單位得到A′B′,
∴B′(4,t),
易得直線AB′的解析式為y=tx+t,
解方程組得,則G(),
∴點G的橫坐標(biāo)為定值,點G在直線x=上,
而0≤t≤2,
∴點G經(jīng)過的路徑的長為1.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,點D是直線BC上一點(不與B、C重合),以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,∠DAE =∠BAC,連接CE.
(1)如圖1,當(dāng)點D在線段BC上,如果∠BAC=90°,則∠BCE=________度;
(2)設(shè),.
①如圖2,當(dāng)點在線段BC上移動,則,之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
②當(dāng)點在直線BC上移動,則,之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀解答:
分解下列因式:,,
(1)觀察上述三個多項式的系數(shù),有,,,
于是某同學(xué)猜測:若多項式是完全平方式,那么實系數(shù),,之間一定存在某種關(guān)系,請你用數(shù)學(xué)式子表示系數(shù),,之間的關(guān)系_______.
(2)解決問題:在實數(shù)范圍內(nèi),若關(guān)于 x 的多項式是完全平方式,且、都是正整數(shù),,求、的值;
(3)在實數(shù)范圍內(nèi),若關(guān)于的多項式和都是完全平方式,利用(1)中的規(guī)律,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形OABC的頂點O是原點,頂點B在y軸上,兩條對角線AC、OB的長分別是6和4,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C.
(1)寫出點A的坐標(biāo),并求k的值;
(2)將菱形OABC沿y軸向下平移多少個單位長度后點A會落在該反比例函數(shù)的圖象上?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,點A(1,1),B(3,1),C(3,2),反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象經(jīng)過點D,且與AB相交于點E,
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)過點C、E作直線,求直線CE的解析式;
(3)如圖2,將矩形ABCD沿直線CE平移,使得點C與點E重合,求線段BD掃過的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為提高節(jié)水意識,小申隨機(jī)統(tǒng)計了自己家7天的用水量,并分析了第3天的用水情況,將得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后,繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖.(單位:升)
(1)求這7天內(nèi)小申家每天用水量的平均數(shù)和中位數(shù);
(2)求第3天小申家洗衣服的水占這一天總用水量的百分比;
(3)請你根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息,給小申家提出一條全理的節(jié)約用水建議,并估算采用你的建議后小申家一個月(按30天計算)的節(jié)約用水量.
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【題目】如圖1,△ABC是邊長為8的等邊三角形,AD⊥BC于點D,DE⊥AB于點E.
(1)求證:AE=3EB
(2)若點F是AD的中點,點P是BC邊上的動點,連接PE,PF,如圖2所示,求PE+PF的最小值及此時BP的長;
(3)在(2)的條件下,連接EF,當(dāng)PE+PF取最小值時,△PEF的面積是______.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l:y=﹣x+4與y軸、x軸分別交于
E、F,邊長為2的等邊△ABC,邊BC在x軸上,將此三角形沿著x軸的正方向平移,在平移過程中,得到△A1B1C1,當(dāng)點B1與原點重合時,解答下列問題:
(1)求出點A1的坐標(biāo),并判斷點A1是否在直線l上;
(2)求出邊A1C1所在直線的解析式;
(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點P,使得以P、A1、C1、F為頂點的四邊形是平行四邊形,請直接寫出P點坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l1過點A(8,0)、B(0,﹣5),直線l2過點C(0,﹣1),l1、l2相交于點D,且△DCB的面積等于8.
(1)求點D的坐標(biāo);
(2)點D的坐標(biāo)是哪個二元一次方程組的解.
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