【題目】如圖1,△ABC是邊長為8的等邊三角形,AD⊥BC于點(diǎn)D,DE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)求證:AE=3EB
(2)若點(diǎn)F是AD的中點(diǎn),點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),連接PE,PF,如圖2所示,求PE+PF的最小值及此時(shí)BP的長;
(3)在(2)的條件下,連接EF,當(dāng)PE+PF取最小值時(shí),△PEF的面積是______.
【答案】(1)見解析;(2)PE+PF的最小值是6,此時(shí)BP的長為2;(3).
【解析】
(1)在三角形BED和三角形ABD中證明即可;
(2)作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)G,連接EG交BC于點(diǎn)P,此時(shí)PE+PF的值最小等于EG.
作EH⊥AD于H,在直角三角形EGH中求出EG的長即可;可證明△EBP是等邊三角形,即可求出BP的長;
(3)證明三角形PEF是直角三角形即可求出面積.
解:(1)如圖1,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=,
∵AD⊥BC,DE⊥AB,
∴∠BDE=,∠BAD=,
∴
∴AB=4BE,
∴AE=3BE;
(2)如圖2,作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)G,連接EG交BC于點(diǎn)P,此時(shí)PE+PF的值最小,
作EH⊥AD于H,
由(1)可知AE=6,∠EAH=,
∴EH=3,AH=,
∵AB=8,∠BAD=,
∴BD=4,AD=,
∴DG=DF=,DH=,
∴GH=,
∴,
∴PE+PF=PE+PG=EG=6,
∴EG=AE,
∴∠G=∠EAH=,
∴∠DPG=,
∴∠EPB=,
∴∠EPB=∠B=,
∴△EBP是等邊三角形,
∴BP=BE=2;
∴PE+PF的最小值是6,此時(shí)BP的長為2.
(3)如圖2,連接EF,
在直角三角形AED中,EF是AD邊上的中線,
∴EF=FD=,
∵∠ADE=,
∴△EDF是等邊三角形,
∴∠DEF=,
由(2)可知∠BEP=,
∴∠DEP=,
∴∠PEF=,
∴S△PEF==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC, BD⊥AC,垂足為D,過點(diǎn)D作DE⊥DF,交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.
(1)求證:△DBE≌△DCF;
(2)連接EF,若AE=4,FC=3;求
①EF的長;
②四邊形BFDE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:關(guān)于 x 的方程 2x2+kx﹣1=0.
(1)求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)若方程的一個(gè)根是﹣1,求另一個(gè)根及 k 值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究
如圖1,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A(﹣1,0),B(4,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.D為坐標(biāo)平面第四象限內(nèi)一點(diǎn),且使得△ABD與△ABC全等.
(1)求拋物線的表達(dá)式.
(2)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo),并判斷四邊形ACBD的形狀.
(3)如圖2,將△ABD沿y軸的正方形以每秒1個(gè)單位長度的速度平移,得到△A′B′D′,A′B′與BC交于點(diǎn)E,A′D′與AB交于點(diǎn)F.連接EF,AB′,EF與AB′交于點(diǎn)G.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(0≤t≤2)秒.
①當(dāng)直線EF經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)T時(shí),請(qǐng)求出此時(shí)t的值;
②請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G經(jīng)過的路徑的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一輛慢車從甲地勻速行駛至乙地,一輛快車同時(shí)從乙地出發(fā)勻速行駛至甲地,兩車之間的距離y(千米)與行駛時(shí)間x(小時(shí))的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示:
(1)甲乙兩地相距 千米,慢車速度為 千米/小時(shí).
(2)求快車速度是多少?
(3)求從兩車相遇到快車到達(dá)甲地時(shí)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)直接寫出兩車相距300千米時(shí)的x值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,在以O為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,拋物線的頂點(diǎn)為A(1,4),且經(jīng)過點(diǎn)B(2,3),與x軸交于C、D兩點(diǎn).
(1)求直線OB的函數(shù)表達(dá)式和該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如圖1,點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作直線PF⊥x軸于點(diǎn)F,交直線OB于點(diǎn)E.若PE=3EF,求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo);
(3)如圖2,點(diǎn)M是拋物上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在直線OB的上方,過點(diǎn)M作x軸的平行線與直線OB交于點(diǎn)N,T是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),當(dāng)MN最大且△MDT周長最小時(shí),直接寫出T的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC,點(diǎn)D,E,F分別在AB,BC,AC邊上,且BD=CE,BE=CF.
(1)求證:△DEF是等腰三角形;
(2)猜想:當(dāng)∠A滿足什么條件時(shí),△DEF是等邊三角形?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F為BC上兩點(diǎn),且BE=CF,AF=DE.
求證:(1)△ABF≌△DCE;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】濱海長途汽車客運(yùn)公司規(guī)定旅客可免費(fèi)攜帶一定質(zhì)量的行李,當(dāng)行李的質(zhì)量超過規(guī)定時(shí),需付的行李費(fèi)y(元)是行李質(zhì)量x(kg)的一次函數(shù),已知行李質(zhì)量為20kg時(shí)需付行李費(fèi)2元,行李質(zhì)量為50kg時(shí)需付行李費(fèi)8元.
(1)當(dāng)行李的質(zhì)量x超過規(guī)定時(shí),求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式.
(2)求旅客最多可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量.
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