Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸的正半軸上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，連接交軸于點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，設(shè)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求圖象經(jīng)過兩點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的條件下，將直線向上平移個(gè)單位后與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）將點(diǎn)B向下平移m個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)A′（6，﹣m），將此時(shí)點(diǎn)AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C′（﹣m，﹣6），將點(diǎn)C′向上平移m的單位得到點(diǎn)C（﹣m，m﹣6），即可求解；

（2）S＝S△ABO+S△ADC＝×AO×BO+×AD×CD＝×6×m+×（6+m）×（6﹣m）＝﹣m2+3m+18，故S有最大值，此時(shí)，m＝3，即可求解；

（3）函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，若x0≥﹣3，則x＝﹣3時(shí)，拋物線在直線的上方，即可求解．

解：（1）將點(diǎn)B向下平移m個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)A′（6，﹣m），將此時(shí)點(diǎn)AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C′（﹣m，﹣6），

將點(diǎn)C′向上平移m的單位得到點(diǎn)C（﹣m，m﹣6），

點(diǎn)C在第三象限時(shí)，﹣m＜0且m﹣6＜0，

解得：0＜m＜6；

（2）S＝S△ABO+S△ADC＝×AO×BO+×AD×CD＝×6×m+×（6+m）×（6﹣m）＝﹣m2+3m+18，

∵﹣＜0，故S有最大值，此時(shí)，m＝3，

故點(diǎn)C（﹣3，﹣3），點(diǎn)A（6，0），

將點(diǎn)C、A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線AC的表達(dá)式為：y＝x﹣2，故點(diǎn)E（0，﹣2），

則c＝﹣2，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0＝36a﹣6﹣2，解得：a＝，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣2…①；

（3）直線y＝（2﹣k）x+2向上平移k個(gè)單位后得到函數(shù)為：y＝（2﹣k）x+2+2…②，

聯(lián)立①②并整理得：x2﹣（3﹣k）x﹣4﹣k＝0，

△＝（3﹣k）2+（4+k）＝k2﹣k+＞0，

故拋物線于直線有兩個(gè)交點(diǎn)，

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，若x0≥﹣3，則x＝﹣3時(shí)，拋物線在直線的上方，

當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝x2﹣x﹣2＝3，

當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝（2﹣k）x+2+2＝4k﹣4，

即4k﹣4≤3，

解得：k≤．