【題目】(問題背景)
(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”,請說理證明∠A+∠B=∠C+∠D
(簡單應用)
(2)如圖2,AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC=20°,∠ADC=26°,求∠P的度數(shù)(可直接使用問題(1)中的結論)
(問題探究)
(3)如圖3,直線AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,試求∠P的度數(shù)
【答案】(1)見解析;(2)23°;(3)26°
【解析】
(1)根據(jù)三角形內角和定理即可證明;
(2)如圖2,根據(jù)角平分線的性質得到∠1=∠2,∠3=∠4,列方程組即可得到結論;
(3)由AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,推出∠1=∠2,∠3=∠4,推出∠PAD=180°-∠2,∠PCD=180°-∠3,由∠P+(180°-∠1)=∠D+(180°-∠3),∠P+∠1=∠B+∠4,推出2∠P=∠B+∠D,即可解決問題
(1)證明:在△AOB中,∠A+∠B+∠AOB=180°,
在△COD中,∠C+∠D+∠COD=180°,
∵∠AOB=∠COD,
∴∠A+∠B=∠C+∠D;
(2)解:如圖2,∵AP、CP分別平分∠BAD,∠BCD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
由(1)的結論得: ,
①+②,得2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠B+∠D,
∴∠P=(∠B+∠D)=23°;
(3)解:如圖3,
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠PAD=180°﹣∠2,∠PCD=180°﹣∠3,
∵∠P+(180°﹣∠2)=∠D+(180°﹣∠3),
∵∠P+∠1=∠B+∠4,
∴2∠P=∠B+∠D,
∴∠P=(∠B+∠D)= ×(36°+16°)=26°.
故答案為:(1)見解析;(2)23°;(3)26°.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,點D是AC的中點,將一塊銳角為45°的直角三角板ADE如圖放置,連接BE,EC.下列判斷:①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④EC=DE.其中正確的有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】如圖,將Rt△ABC(其中∠B=35°,∠C=90°)繞點A按順時針方向旋轉到△AB1C1的位置,使得點C,A,B1在同一條直線上,那么旋轉角等于( )
A.55°
B.70°
C.125°
D.145°
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【題目】一個長方形的長和寬分別為x厘米和y厘米(x,y為正整數(shù)),如果將長方形的長和寬各增加5厘米得到新的長方形,面積記為,將長方形的長和寬各減少2厘米得到新的長方形,面積記為.
(1)請說明:與的差一定是7的倍數(shù).
(2)如果比大196,求原長方形的周長.
(3)如果一個面積為的長方形和原長方形能夠沒有縫隙沒有重疊的拼成一個新的長方形,請找出x與y的關系,并說明理由.
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【題目】某服裝店用6000元購進A,B兩種新式服裝,按標價售出后可獲得毛利潤3800元(毛利潤=售價﹣進價),這兩種服裝的進價、標價如下表所示:
類型 價格 | A型 | B型 |
進價(元/件) | 60 | 100 |
標價(元/件) | 100 | 160 |
(1)求這兩種服裝各購進的件數(shù);
(2)如果A中服裝按標價的8折出售,B中服裝按標價的7折出售,那么這批服裝全部售完后,服裝店比按標價售出少收入多少元?
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【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,點的坐標是,點的坐標是,點和點關于原點對稱,點是直線位于軸右側部分圖象上一點,連接,已知.
(1)求直線的解析式;
(2)如圖2,沿著直線平移得,平移后的點與點重合.點為直線上的一動點,當的值最小時,請求出的最小值及此時點的坐標;
(3)如圖3,將沿直線是翻折得點為平面內任意一動點,在直線上是否存在一點,使得以點為頂點的四邊形是矩形;若存在,請直接寫出點的坐標,若不存在,說明理由.
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【題目】某公司有A、B兩種型號的客車共11輛,它們的載客量(不含司機)、日租金、車輛數(shù)如下表所示,已知這11輛客車滿載時可搭載乘客350人.
A型客車 | B型客車 | |
載客量(人/輛) | 40 | 25 |
日租金(元/輛) | 320 | 200 |
車輛數(shù)(輛) | a | b |
(1)求a、b的值;
(2)某校七年級師生周日集體參加社會實踐,計劃租用A、B兩種型號的客車共6輛,且租車總費用不超過1700元.
①最多能租用A型客車多少輛?
②若七年級師生共195人,寫出所有的租車方案,并確定最省錢的租車方案.
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【題目】如圖所示,E,F,G,H分別是四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,AD的中點.
(1)探究1:連接對角線AC,BD由三角形中位線定理及平行四邊形的判定定理易得四邊形EFGH為 (不需要證明);
(2)探究2:觀察猜想:
①當四邊形ABCD的對角線AC,BD滿足條件 時,四邊形EFGH是菱形;
②當四邊形ABCD的對角線AC,BD滿足條件 時,四邊形EFGH為矩形.
(3)探究3:當四邊形ABCD滿足什么條件時,四邊形EFGH為正方形?并說明理由.
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【題目】如圖,點C為線段AB上一點,△ACM,△CBN是等邊三角形,直線AN,MC交于點E,直線BM,CN交于點F.
(1)求證:AN=MB;
(2)求證:△CEF為等邊三角形;
(3)將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉90°,其他條件不變,在(2)中畫出符合要求的圖形,并判斷(1)(2)題中的兩結論是否依然成立.并說明理由.
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