【題目】如圖,點C為線段AB上一點,△ACM,△CBN是等邊三角形,直線AN,MC交于點E,直線BM,CN交于點F.

(1)求證:AN=MB;
(2)求證:△CEF為等邊三角形;
(3)將△ACM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,其他條件不變,在(2)中畫出符合要求的圖形,并判斷(1)(2)題中的兩結(jié)論是否依然成立.并說明理由.

【答案】
(1)證明:∵△ACM,△CBN是等邊三角形,

∴AC=MC,BC=NC,∠ACM=60°,∠NCB=60°,

在△CAN和△MCB中,

,

∴△CAN≌△MCB(SAS),

∴AN=BM


(2)證明:∵△CAN≌△MCB,

∴∠CAN=∠CMB,

又∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°,

∴∠MCF=∠ACE,

在△CAE和△CMF中,

,

∴△CAE≌△CMF(ASA),

∴CE=CF,

∴△CEF為等腰三角形,

又∵∠ECF=60°,

∴△CEF為等邊三角形


(3)解:連接AN,BM,

∵△ACM、△CBN是等邊三角形,

∴AC=MC,BC=CN,∠ACM=∠BCN=60°,

∵∠ACB=90°,

∴∠ACN=∠MCB,

在△ACN和△MCB中,

,

∴△ACN≌△MCB(SAS),

∴AN=MB.

當把MC逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,AC也旋轉(zhuǎn)了90°,因此∠ACB=90°,很顯然∠FCE>90°,因此三角形FCE絕對不可能是等邊三角形,

即結(jié)論1成立,結(jié)論2不成立.


【解析】(1)可通過全等三角形來得出簡單的線段相等,證明AN=BM,只要求出三角形ACN和MCB全等即可,這兩個三角形中,已知的條件有AC=MC,NC=CB,只要證明這兩組對應邊的夾角相等即可,我們發(fā)現(xiàn)∠ACN和∠MCB都是等邊三角形的外角,因此它們都是120°,這樣就能得出兩三角形全等了.也就證出了AN=BM.(2)我們不難發(fā)現(xiàn)∠ECF=180﹣60﹣60=60°,因此只要我們再證得兩條邊相等即可得出三角形ECF是等邊三角形,可從EC,CF入手,由(1)的全等三角形我們知道,∠MAC=∠BMC,又知道了AC=MC,∠MCF=∠ACE=60°,那么此時三角形AEC≌三角形MCF,可得出CF=CE,于是我們再根據(jù)∠ECF=60°,便可得出三角形ECF是等邊三角形的結(jié)論.(3)判定結(jié)論1是否正確,也是通過證明三角形ACN和BCM來求得.這兩個三角形中MC=AC,NC=BC,∠MCB和∠ACN都是60°+∠ACB,因此兩三角形就全等,AN=BM,結(jié)論1正確.如圖,當把MC逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,AC也旋轉(zhuǎn)了90°,因此∠ACB=90°,很顯然∠FCE>90°,因此三角形FCE絕對不可能是等邊三角形.

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