【題目】如圖所示,E,F,G,H分別是四邊形ABCD的邊ABBC,CD,AD的中點(diǎn).

1)探究1:連接對(duì)角線AC,BD由三角形中位線定理及平行四邊形的判定定理易得四邊形EFGH (不需要證明);

2)探究2:觀察猜想:

①當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線ACBD滿足條件 時(shí),四邊形EFGH是菱形;

②當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD滿足條件 時(shí),四邊形EFGH為矩形.

3)探究3:當(dāng)四邊形ABCD滿足什么條件時(shí),四邊形EFGH為正方形?并說明理由.

【答案】1)平行四邊形;(2)①AC=BD;②ACBD;(3 當(dāng)四邊形ABCD滿足ACBDACBD時(shí),四邊形EFGH為正方形.理由見解析.

【解析】

1)由中位線定理得出GHAC,GH=AC,同理EFAC,EF=AC,得出GHEFGH=EF,從而可得出四邊形EFGH是平行四邊形;

2)①由(1)知四邊形EFGH是平行四邊形,由AC=BD,推出一組鄰邊相等即可得出四邊形EFGH為菱形;
②由(1)知四邊形EFGH是平行四邊形,由ACBD,證出∠EHG=90°,得出四邊形EFGH為矩形;
3)由AC=BD得出四邊形EFGH為菱形;由ACBD得出四邊形EFGH為矩形,即可得出四邊形EFGH為正方形.

解:(1)∵H、G,分別為ADDC的中點(diǎn),
HGACHG=AC,
同理EFAC,EF=AC,
HGEFEF=HG
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
故答案為:平行四邊形;
2)①AC=BD,理由如下:
由(1)知四邊形EFGH為平行四邊形,

又∵H,G分別為AD、DC的中點(diǎn),∴HG=AC,
同理可知HE=BD,
又∵AC=BD,∴HE=HG
∴平行四邊形EFGH為菱形,

故答案為:AC=BD;
ACBD,理由如下:

由(1)知四邊形EFGH是平行四邊形,
又∵H,G分別為ADDC的中點(diǎn),∴HGAC,同理可知HEBD

ACBD,∴HGHE,∴∠EHG=90°,
∴四邊形EFGH為矩形,

故答案為:ACBD;
3)當(dāng)四邊形ABCD滿足ACBDACBD時(shí),四邊形EFGH為正方形.理由如下:
當(dāng)AC=BD時(shí),由(2)①得:四邊形EFGH為菱形;
當(dāng)ACBD時(shí),由(2)②得:四邊形EFGH為矩形,
∴四邊形EFGH為正方形.

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