Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，我們不妨將橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱之為“中國結(jié)”。

（1）求函數(shù)y=x+2的圖像上所有“中國結(jié)”的坐標(biāo)；

（2）求函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖像上有且只有兩個“中國結(jié)”，試求出常數(shù)k的值與相應(yīng)“中國結(jié)”的坐標(biāo)；

（3）若二次函數(shù)y=（k為常數(shù)）的圖像與x軸相交得到兩個不同的“中國結(jié)”，試問該函數(shù)的圖像與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結(jié)”？

Answer 1

【答案】（1）（0,2）；（2）當(dāng)k=1時，對應(yīng)“中國結(jié)”為（1,1）（－1，－1）；當(dāng)k=－1時，對應(yīng)“中國結(jié)”為（1，－1），（－1,1）；（3）6個.

【解析】

試題（1）因為x是整數(shù)，x≠0時，x是一個無理數(shù)，所以x≠0時，x+2不是整數(shù)，所以x=0，y=2，據(jù)此求出函數(shù)y=x+2的圖象上所有“中國結(jié)”的坐標(biāo)即可．

（2）首先判斷出當(dāng)k=1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判斷出當(dāng)k≠1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上最少有4個“中國結(jié)”，據(jù)此求出常數(shù)k的值與相應(yīng)“中國結(jié)”的坐標(biāo)即可．

（3）首先令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，則[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，求出x1、x2的值是多少；然后根據(jù)x1、x2的值是整數(shù)，求出k的值是多少；最后根據(jù)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱之為“中國結(jié)”，判斷出該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結(jié)”即可．

試題解析：（1）∵x是整數(shù)，x≠0時，x是一個無理數(shù)，

∴x≠0時，x+2不是整數(shù)，

∴x=0，y=2，

即函數(shù)y=x+2的圖象上“中國結(jié)”的坐標(biāo)是（0，2）．

（2）①當(dāng)k=1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”：

（1，1）、（﹣1、﹣1）；

②當(dāng)k=﹣1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”：

（1，﹣1）、（﹣1，1）．

③當(dāng)k≠±1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上最少有4個“中國結(jié)”：

（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），這與函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”矛盾，

綜上可得，k=1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；

k=﹣1時，函數(shù)y=（k≠0，k為常數(shù)）的圖象上有且只有兩個“中國結(jié)”：（1，﹣1）、（﹣1、1）．

（3）令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，

則[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，

∴

∴，

整理，可得

x1x2+2x2+1=0，

∴x2（x1+2）=﹣1，

∵x1、x2都是整數(shù)，

∴或

∴或

①當(dāng)時，

∵，

∴k=；

②當(dāng)時，

∵，

∴k=k﹣1，無解；

綜上，可得

k=，x1=﹣3，x2=1，

y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k

=[()2﹣3×+2]x2+[2×（）2﹣4×+1]x+（）2﹣

=﹣x2﹣x+

①當(dāng)x=﹣2時，

y=﹣x2﹣x+=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+

=

②當(dāng)x=﹣1時，

y=﹣x2﹣x+

=﹣×（﹣1）2﹣×（﹣1）+

=1

③當(dāng)x=0時，y=，

另外，該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中x軸上的“中國結(jié)”有3個：

（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）．

綜上，可得

若二次函數(shù)y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k為常數(shù)）的圖象與x軸相交得到兩個不同的“中國結(jié)”，

該函數(shù)的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有6個“中國結(jié)”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．