Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過點D作⊙O的切線DE交邊BC于點E，連結BD．

（1）求證：∠ABD＝∠CDE．

（2）若AC＝28，tanA＝2，AD：DC＝1：3，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6．

【解析】

（1）連接OD，如圖，利用切線的性質得∠1+∠2=90°，利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則∠CDE+∠2=90°，所以∠1=∠CDE，加上∠ABD=∠1，從而得到∠ABD=∠CDE；

（2）作EF⊥AC于F，如圖，利用∠DEF=∠A和正切定義得到2，設EF=x，則DF=2x，再計算出AD=7，CD=21．在Rt△ABD中計算出BD=14，接著證明△CEF∽△CBD，則利用相似比得到x=6，然后利用勾股定理計算DE的長．

（1）連接OD，如圖，

∵DE為切線，

∴OD⊥DE，

∴∠1+∠2=90°．

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠CDE+∠2=90°，

∴∠1=∠CDE．

∵OB=OD，

∴∠ABD=∠1，

∴∠ABD=∠CDE；

（2）作EF⊥AC于F，如圖，

∵∠ABD=∠CDE，

∴∠DEF=∠A．

在Rt△DEF中，tan∠DEF=tanA=2，

設EF=x，則DF=2x．

∵AC=28，AD：DC=1：3，

∴AD=7，CD=21．

在Rt△ABD中，tanA2，

∴BD=2AD=14．

∵BD⊥AC，EF⊥AC，

∴EF∥BD，

∴△CEF∽△CBD，

∴，

即，

解得：x=6，

∴DF=12．

在Rt△DEF中，DE6．