Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交y軸于點(diǎn)A，并經(jīng)過(guò)B（4，4）和C（6，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，0），連接AD，BC，點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段OC方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)M同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F停止時(shí)點(diǎn)M也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)F作AB的垂線EF交直線AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的解析式；

（2）以線段EH為斜邊向右作等腰直角△EHG，當(dāng)點(diǎn)G落在第一象限內(nèi)的拋物線上時(shí)，求出t的值；

（3）設(shè)△EFM與四邊形ADCB重合時(shí)的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式與相應(yīng)的自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）t＝；（3）S＝．

【解析】

（1）由題意得：函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝2，則函數(shù)與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），則函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x＋2）（x6）＝a（x24x12），即可求解；

（2）求出點(diǎn)G（，），將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入表達(dá)式，即可求解；

（3）分0＜t≤2、2＜t≤6兩種情況分別求解即可．

（1）由題意得：函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝2，則函數(shù)與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），

則函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12），

則﹣12a＝4，解得：a＝﹣，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+4；

（2）將點(diǎn)A、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線AD的表達(dá)式為：y＝﹣x+4，

則點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為：（t，4）、（t，0），

則點(diǎn)H（t，4﹣t），則點(diǎn)G（，4﹣t），

將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入表達(dá)式得：4﹣t＝﹣·（）2+·+4，

解得：t＝；

（3）點(diǎn)M（t+4，0），點(diǎn)E（t，4）、點(diǎn)F（t，0），

①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，設(shè)EF交AD于點(diǎn)N（t，4﹣t），

S＝S△EFM﹣S△FND＝8﹣×（4﹣t）2＝﹣t2+4t，

②2＜t≤6時(shí)，

設(shè)直線EM交BC于點(diǎn)R，EF交AD于點(diǎn)K（t，4﹣t），

同理可得：直線ME的表達(dá)式為：y＝﹣x+t+4，

直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣2x+12，

聯(lián)立上述兩式并解得：x＝8﹣t，

故點(diǎn)R（8﹣t，2t﹣4），

S＝S△EFM﹣S△RCM﹣S△KFD＝4×4﹣（t+4﹣6）（2t﹣4）﹣×（4﹣t）2＝﹣t2+8t﹣4；

故S＝．