Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2﹣x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．直線y＝﹣x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P為直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），則△PBC的面積能夠等于△BOC的面積嗎？若能，求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，現(xiàn)把△BOC平移至如圖所示的位置，此時(shí)三角形水平方向一邊的兩個(gè)端點(diǎn)點(diǎn)O′與點(diǎn)B′都在拋物線上，稱點(diǎn)O′和點(diǎn)B′為△BOC在拋物線上的一“卡點(diǎn)對(duì)”；如果把△BOC旋轉(zhuǎn)一定角度，使得其余邊位于水平方向然后平移，能夠得到這個(gè)三角形在拋物線上新的“卡點(diǎn)對(duì)”．請(qǐng)直接寫(xiě)出△BOC在已知拋物線上所有“卡點(diǎn)對(duì)”的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）即當(dāng)（2，﹣）時(shí)，兩個(gè)三角形面積相同；（3）故拋物線上所有“卡點(diǎn)對(duì)”的坐標(biāo)（， ）和（，）、（1，0）和（4，0）、（0，3）和（5，3）．

【解析】

（1）分別把x=0，y=0代入一次函數(shù)表達(dá)式得：點(diǎn)C、B的坐標(biāo)分別為（0，3）、（4，0），同理將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求解；
（2）直線y=-x和直線BC平行，直線y=-x和拋物線的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)P，即可求解；
（3）分O′B′在水平位置時(shí)、O′C′在水平位置時(shí)、B′C′在水平位置時(shí)，三種情況分別求解即可．

解：（1）分別把x＝0，y＝0代入一次函數(shù)表達(dá)式得：

點(diǎn)C、B的坐標(biāo)分別為（0，3）、（4，0），

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：

，

解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣x+3；

（2）直線y＝﹣x和直線BC平行，

直線y＝﹣x和拋物線的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)P，

則，

解得：，

即當(dāng)（2，﹣）時(shí)，兩個(gè)三角形面積相同；

（3）拋物線的對(duì)稱軸為：x＝，

①當(dāng)O′B′在水平位置時(shí)，如圖2所示，

O′B′＝4，則點(diǎn)B′和O′的橫坐標(biāo)分別為、，

將橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：y＝，

故此時(shí)的“卡點(diǎn)對(duì)”坐標(biāo)為（，）和（，）；

②當(dāng)O′C′在水平位置時(shí)，

O′C′＝3，則點(diǎn)B′和O′的橫坐標(biāo)分別為4、1，

將橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：y＝0，

故此時(shí)的“卡點(diǎn)對(duì)”坐標(biāo)為（1，0）和（4，0）；

③當(dāng)B′C′在水平位置時(shí)，

同理可得：此時(shí)的“卡點(diǎn)對(duì)”坐標(biāo)為（0，3）和（5，3）；

故拋物線上所有“卡點(diǎn)對(duì)”的坐標(biāo)（，）和（，）、（1，0）和（4，0）、（0，3）和（5，3）．