【題目】如圖①,在正方形ABCD中,AB=6,M為對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)(不與B、D重合),連接CM,過點(diǎn)M作MN⊥CM,交線段AB于點(diǎn)N
(1)求證:MN=MC;
(2)若DM:DB=2:5,求證:AN=4BN;
(3)如圖②,連接NC交BD于點(diǎn)G.若BG:MG=3:5,求NGCG的值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)CGNG=.
【解析】
(1)作ME∥AB、MF∥BC,證四邊形BEMF是正方形得ME=MF,再證∠CME=∠FMN,從而得△MFN≌△MEC,據(jù)此可得證;
(2)由FM∥AD,EM∥CD知===,據(jù)此得AF=2.4,CE=2.4,由△MFN≌△MEC知FN=EC=2.4,AN=4.8,BN=6-4.8=1.2,從而得出答案;
(3)把△DMC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BHC,連接GH,先證△MCG≌△HCG得MG=HG,由BG:MG=3:5可設(shè)BG=3a,則MG=GH=5a,繼而知BH=4a,MD=4a,由DM+MG+BG=12a=6得a=,知BG=,MG=,證△MGC∽△NGB得,從而得出答案.
解:(1)如圖①,過M分別作ME∥AB交BC于E,MF∥BC交AB于F,
則四邊形BEMF是平行四邊形,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,∠ABD=∠CBD=∠BME=45°,
∴ME=BE,
∴平行四邊形BEMF是正方形,
∴ME=MF,
∵CM⊥MN,
∴∠CMN=90°,
∵∠FME=90°,
∴∠CME=∠FMN,
∴△MFN≌△MEC(ASA),
∴MN=MC;
(2)由(1)得FM∥AD,EM∥CD,
∴===,
∴AF=2.4,CE=2.4,
∵△MFN≌△MEC,
∴FN=EC=2.4,
∴AN=4.8,BN=6﹣4.8=1.2,
∴AN=4BN;
(3)如圖②,把△DMC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BHC,連接GH,
∵△DMC≌△BHC,∠BCD=90°,
∴MC=HC,DM=BH,∠CDM=∠CBH=45°,∠DCM=∠BCH,
∴∠MBH=90°,∠MCH=90°,
∵MC=MN,MC⊥MN,
∴△MNC是等腰直角三角形,
∴∠MNC=45°,
∴∠NCH=45°,
∴△MCG≌△HCG(SAS),
∴MG=HG,
∵BG:MG=3:5,
設(shè)BG=3a,則MG=GH=5a,
在Rt△BGH中,BH=4a,則MD=4a,
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,
∴BD=6,
∴DM+MG+BG=12a=6,
∴a=,
∴BG=,MG=,
∵∠MGC=∠NGB,∠MNG=∠GBC=45°,
∴△MGC∽△NGB,
∴=,
∴CGNG=BGMG=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖的⊙O中,AB為直徑,OC⊥AB,弦CD與OB交于點(diǎn)F,過點(diǎn)D、A分別作⊙O的切線交于點(diǎn)G,并與AB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.
(1)求證:∠1=∠2.
(2)已知:OF:OB=1:3,⊙O的半徑為3,求AG的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,圖1,圖2分別是某款高壓電塔的實(shí)物圖和示意圖電塔的底座AB與地面平齊,DF表示電塔頂端D到地面的距離,已知AF的長(zhǎng)是2米,支架AC與地面夾角∠BAC=86°,頂端支架DC長(zhǎng)10米,DC與水平線CE之間夾角∠DCE=45°,求電塔的高度DF.(sin86°=0.998,cos86°=0.070,tan86°=14.300,≈1.4,結(jié)果保留整數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】央視“經(jīng)典詠流傳”開播以來受到社會(huì)廣泛關(guān)注.我市某校就“中華文化我傳承——地方戲曲進(jìn)校園”的喜愛情況進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查,對(duì)收集的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了下面兩副尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖所提供的信息解答下列問題:
圖中A表示“很喜歡”,B表示“喜歡”,C表示“一般”,D表示“不喜歡”.
(1)被調(diào)查的總?cè)藬?shù)是_____人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中C部分所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為_____;
(2)①補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;②若該校共有學(xué)生1800人,請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該校學(xué)生中A類有多少人;
(3)在抽取的A類5人中,剛好有3個(gè)女生2個(gè)男生,從中隨機(jī)抽取兩個(gè)同學(xué)擔(dān)任兩角色,用樹形圖或列表法求出被抽到的兩個(gè)學(xué)生性別相同的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的,人們稱它為”趙爽弦圖“.已知AE=4,BE=3,若向正方形ABCD內(nèi)隨意投擲飛鏢(每次均落在正方形ABCD內(nèi),且落在正方形ABCD內(nèi)任何一點(diǎn)的機(jī)會(huì)均等),則恰好落在正方形EFGH內(nèi)的概率為( 。
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為“節(jié)能減排,保護(hù)環(huán)境”,某村計(jì)劃建造A、B兩種型號(hào)的沼氣池共20個(gè),以解決所有農(nóng)戶的燃料問題.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查:建造A、B兩種型號(hào)的沼氣池各1個(gè),共需費(fèi)用5萬元;建造A型號(hào)的沼氣池3個(gè),B種型號(hào)的沼氣池4個(gè),共需費(fèi)用18萬元.
(1)求建造A、B兩種型號(hào)的沼氣池造價(jià)分別是多少?
(2)設(shè)建造A型沼氣池x個(gè),總費(fèi)用為y萬元,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;若要使投入總費(fèi)用不超過52萬元,至少要建造A型沼氣池多少個(gè)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將牌面數(shù)字分別是4,5,6,8的四張撲克牌背面朝上(背面完全相同)洗勻后放在桌面上
(1)從中隨機(jī)抽出一張牌,牌面數(shù)字是偶數(shù)的概率是 ;
(2)先從中隨機(jī)抽出一張牌,將牌面數(shù)字作為十位上的數(shù)字,然后將該牌放回并重新洗勻,再隨機(jī)抽出一張,將牌面數(shù)字作為個(gè)位上的數(shù)字,請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求組成的兩位數(shù)恰好是8的整數(shù)倍的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解七年級(jí)學(xué)生身體發(fā)育狀況,學(xué)校抽取一部分學(xué)生測(cè)量身高(單位:m),繪制處如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②.請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(1)圖①中a的值為 ;
(2)求統(tǒng)計(jì)的這組學(xué)生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(3)如果全校七年級(jí)學(xué)生有300人,那么估計(jì)身高大于1.65m的學(xué)生大約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0)和B(m,0),且3<m<4,則下列說法:①b<0;②a+c=b;③b2>4ac;④2b>3c;⑤=1,正確的是( )
A.①②④B.①③⑤C.②③④D.②③⑤
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