【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣6,0).如圖1,正方形OBCD的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)C在第二象限.現(xiàn)將正方形OBCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得到正方形OEFG.

(1)如圖2,若α=60°,OE=OA,求直線EF的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若α為銳角,tanα=,當(dāng)AE取得最小值時(shí),求正方形OEFG的面積;

(3)當(dāng)正方形OEFG的頂點(diǎn)F落在y軸上時(shí),直線AE與直線FG相交于點(diǎn)P,△OEP的其中兩邊之比能否為:1?若能,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,試說明理由

【答案】(1);(2);(3)存在,P1(0,6),P2(﹣6,18),P3(﹣18,36),P4(﹣6,0),P5(﹣18,6).

【解析】

試題分析:(1)先判斷出△AEO為正三角形,再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出OM即可;

(2)判斷出當(dāng)AE⊥OQ時(shí),線段AE的長最小,用勾股定理計(jì)算即可;

(3)由△OEP的其中兩邊之比為:1分三種情況進(jìn)行計(jì)算即可.

試題解析:(1)如圖1,過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H,EF與y軸的交點(diǎn)為M.

∵OE=OA,α=60°,∴△AEO為正三角形,∴OH=3,EH==,E(﹣3,).

∵∠AOM=90°,∴∠EOM=30°.

在Rt△EOM中,∵cos∠EOM=,即,∴OM=,M(0,).

設(shè)直線EF的函數(shù)表達(dá)式為,∵該直線過點(diǎn)E(﹣3,),∴=,解得,所以,直線EF的函數(shù)表達(dá)式為

(2)如圖2,射線OQ與OA的夾角為α( α為銳角,tanα=).

無論正方形邊長為多少,繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角α后得到正方

形OEFG的頂點(diǎn)E在射線OQ上,∴當(dāng)AE⊥OQ時(shí),線段AE的長最。

在Rt△AOE中,設(shè)AE=a,則OE=2a,∴,解得,(舍去),∴OE=2a=,∴S正方形OEFG==

(3)設(shè)正方形邊長為m.

當(dāng)點(diǎn)F落在y軸正半軸時(shí).如圖3,當(dāng)P與F重合時(shí),△PEO是等腰直角三角形,有

在Rt△AOP中,∠APO=45°,OP=OA=6,∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(0,6).

在圖3的基礎(chǔ)上,當(dāng)減小正方形邊長時(shí),點(diǎn)P在邊FG 上,△OEP的其中兩邊之比不可能為:1;

當(dāng)增加正方形邊長時(shí),存在(圖4)和(圖5)兩種情況.

如圖4,△EFP是等腰直角三角形,有=,即=,此時(shí)有AP∥OF.

在Rt△AOE中,∠AOE=45°,∴OE=OA=,∴PE=OE=12,PA=PE+AE=18,∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(﹣6,18).

如圖5,過P作PR⊥x軸于點(diǎn)R,延長PG交x軸于點(diǎn)H.設(shè)PF=n.

在Rt△POG中,==,在Rt△PEF中,=,當(dāng)時(shí),∴=,得n=2m.

∵EO∥PH,∴△AOE∽△AHP,∴,∴AH=4OA=24,即OH=18,∴m=

在等腰Rt△PRH中,PR=HR=PH=36,∴OR=RH﹣OH=18,∴點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(﹣18,36).

當(dāng)點(diǎn)F落在y軸負(fù)半軸時(shí),如圖6,P與A重合時(shí),在Rt△POG中,OP=OG,又∵正方形OGFE中,OG=OE,∴OP=OE,點(diǎn)P4的坐標(biāo)為(﹣6,0).

在圖6的基礎(chǔ)上,當(dāng)正方形邊長減小時(shí),△OEP的其中兩邊之比不可能為:1;當(dāng)正方形邊長增加時(shí),存在(圖7)這一種情況.

如圖7,過P作PR⊥x軸于點(diǎn)R,設(shè)PG=n.

在Rt△OPG中,=,在Rt△PEF中,==

當(dāng)時(shí),∴,=,∴n=2m,由于NG=OG=m,則PN=NG=m,∵OE∥PN,∴△AOE∽△ANP,∴=1,即AN=OA=6.

在等腰Rt△ONG中,ON=m,∴12=m,∴m=,在等腰Rt△PRN中,RN=PR=6,∴點(diǎn)P5的坐標(biāo)為(﹣18,6).

所以,△OEP的其中兩邊的比能為:1,點(diǎn)P的坐標(biāo)是:P1(0,6),P2(﹣6,18),P3(﹣18,36),P4(﹣6,0),P5(﹣18,6).

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