【題目】如圖,已知拋物線與直線AB相交于A(﹣3,0),B(0,3)兩點.

(1)求這條拋物線的解析式;

(2)設(shè)C是拋物線對稱軸上的一動點,求使∠CBA=90°的點C的坐標(biāo);

(3)探究在拋物線上是否存在點P,使得△APB的面積等于3?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)C(﹣1,4);(3)(﹣1,4)或(﹣2,3)或()或(,).

【解析】

試題分析:(1)把點A,B兩點的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式,求出b和c的值即可;

(2)過點B作CBAB,交拋物線的對稱軸于點C,過點C作CEy軸,垂足為點E,求出點C的橫坐標(biāo),再求出OE的長,即可得到點C的縱坐標(biāo);

(3)假設(shè)在在拋物線上存在點P,使得APB的面積等于3,連接PA,PB,過P作PDAB于點D,作PFy軸交AB于點F,在RtOAB中,易求AB=,設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,),設(shè)點F的坐標(biāo)為(m,m+3),再分兩種情況討論:①當(dāng)點P在直線AB上方時,②當(dāng)點P在直線AB下方時,分別求出符合條件點P的坐標(biāo)即可.

試題解析:(1)把點A(﹣3,0),B(0,3)代入得:,解得:,拋物線的解析式是;

(2)如圖1:過點B作CBAB,交拋物線的對稱軸于點C,過點C作CEy軸,垂足為點E,,拋物線對稱軸為直線x=﹣1,CE=1,AO=BO=1,∴∠ABO=45°,∴∠CBE=45°,BE=CE=1,OE=OB+BE=4,點C的坐標(biāo)為(﹣1,4);

(3)假設(shè)在在拋物線上存在點P,使得APB的面積等于3,如圖2:連接PA,PB,過P作PDAB于點D,作PFy軸交AB于點F,在RtOAB中,易求AB==,SAPB=3,PD=,∵∠PFD=ABO=45°,PF=,設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,),A(﹣3,0),B(0,3),直線AB的解析式為可設(shè)點F的坐標(biāo)為(m,m+3),

①當(dāng)點P在直線AB上方時,可得:,解得:m=﹣1或﹣2,符合條件的點P坐標(biāo)為(﹣1,4)或(﹣2,3),

②當(dāng)點P在直線AB下方時,可得:,解得:m=符合條件的點P坐標(biāo)為(,)或(;

綜上可知符合條件的點P有4個,坐標(biāo)分別為:(﹣1,4)或(﹣2,3)或()或(,).

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(2)若α為銳角,tanα=,當(dāng)AE取得最小值時,求正方形OEFG的面積;

(3)當(dāng)正方形OEFG的頂點F落在y軸上時,直線AE與直線FG相交于點P,△OEP的其中兩邊之比能否為:1?若能,求點P的坐標(biāo);若不能,試說明理由

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