【題目】定義:數(shù)學(xué)活動課上,李老師給出如下定義:如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,那么稱三角形為“智慧三角形”.

理解:(1)如圖,已知是⊙上兩點,請在圓上找出滿足條件的點,使為“智慧三角形”(畫出點的位置,保留作圖痕跡);

(2)如圖,在正方形中, 的中點, 上一點,且,試判斷是否為“智慧三角形”,并說明理由;

運用:(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙的半徑為,點是直線上的一點,若在⊙上存在一點,使得為“智慧三角形”,其面積的最小值為______.

【答案】

【解析】分析:(1)連結(jié)AO并且延長交圓于C1,連結(jié)BO并且延長交圓于C2,即可求解;

(2)設(shè)正方形的邊長為4a,表示出DF、CF以及EC、BE的長,然后根據(jù)勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根據(jù)勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形,由直角三角形的性質(zhì)可得△AEF為“智慧三角形”;

(3)根據(jù)“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形,根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時,另一條直角邊最短,則面積取得最小值,由垂線段最短可得斜邊最短為3,根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊,再根據(jù)三角形面積可求斜邊的高,即點P的橫坐標(biāo),再根據(jù)勾股定理可求點P的縱坐標(biāo),從而求解.

詳解:1)如圖1所示:

2AEF是否為智慧三角形,

理由如下:設(shè)正方形的邊長為4a,

EDC的中點,

DE=CE=2a,

BCFC=41

FC=a,BF=4a﹣a=3a,

RtADE中,AE2=4a2+2a2=20a2,

RtECF中,EF2=2a2+a2=5a2,

RtABF中,AF2=4a2+3a2=25a2

AE2+EF2=AF2,

∴△AEF是直角三角形,

∵斜邊AF上的中線等于AF的一半,

∴△AEF智慧三角形;

3)如圖3所示:

智慧三角形的定義可得△OPQ為直角三角形,

根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時,另一條直角邊最短,則面積取得最小值,

由垂線段最短可得斜邊最短為3,

由勾股定理可得PQ=,

PM=1×2÷3=

面積的最小值為:

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義:數(shù)學(xué)活動課上,李老師給出如下定義:如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,那么稱三角形為“智慧三角形”.

理解:(1)如圖,已知是⊙上兩點,請在圓上找出滿足條件的點,使為“智慧三角形”(畫出點的位置,保留作圖痕跡);

(2)如圖,在正方形中, 的中點, 上一點,且,試判斷是否為“智慧三角形”,并說明理由;

運用:(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙的半徑為,點是直線上的一點,若在⊙上存在一點,使得為“智慧三角形”,其面積的最小值為______.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某天早晨,王老師從家出發(fā)步行前往學(xué)校,途中在路邊一飯店吃早餐,如圖所示是王老師從家到學(xué)校這一過程中所走的路程S(米)與時間t()之間的關(guān)系.

(1)學(xué)校離他家 米,從出發(fā)到學(xué)校,王老師共用了 分鐘;

(2)王老師吃早餐用了多少分鐘?

(3)王老師吃早餐以前的速度快還是吃完早餐以后的速度快?吃完早餐后的平均速度是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)軸上的A、B兩點分別對應(yīng)數(shù)字ab,且ab滿足|4a-b|+a-42=0

1a= ,b= ,并在數(shù)軸上面出AB兩點;

2)若點P從點A出發(fā),以每秒3個單位長度向x軸正半軸運動,求運動時間為多少時,點P到點A的距離是點P到點B距離的2倍;

3)數(shù)軸上還有一點C的坐標(biāo)為30,若點P和點Q同時從點A和點B出發(fā),分別以每秒3個單位長度和每秒1個單位長度的速度向C點運動,P點到達(dá)C點后,再立刻以同樣的速度返回,運動到終點A.求點P和點Q運動多少秒時,P、Q兩點之間的距離為4,并求此時點Q對應(yīng)的數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,點C在線段AB上,AC = 8 cm,CB = 6 cm,點M、N分別是AC、BC的中點.

(1)求線段MN的長.

(2)若C為線段AB上任意一點,滿足AC+CB=a(cm),其他條件不變,你能猜想出MN的長度嗎?并說明理由.

(3)若C在線段AB的延長線上,且滿足AC-CB=b(cm),M、N分別為AC、BC的中點,你能猜想出MN的長度嗎?請畫出圖形,寫出你的結(jié)論,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點是原點,四邊形是菱形,點的坐標(biāo)為,點軸的負(fù)半軸上,直線軸交于點軸交于點。

1)求直線的解析式;

2)動點從點出發(fā),沿折線方向以1個單位/秒的速度向終點勻速運動,設(shè)的面積為,點的運動時間為秒,求之間的函數(shù)關(guān)系式。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,在ABC中,A=30°,點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿折線A﹣C﹣B運動,點Q從點A出發(fā)以a(cm/s)的速度沿AB運動,P,Q兩點同時出發(fā),當(dāng)某一點運動到點B時,兩點同時停止運動.設(shè)運動時間為x(s),APQ的面積為y(cm2),y關(guān)于x的函數(shù)圖象由C1,C2兩段組成,如圖2所示.

(1)求a的值;

(2)求圖2中圖象C2段的函數(shù)表達(dá)式;

(3)當(dāng)點P運動到線段BC上某一段時APQ的面積,大于當(dāng)點P在線段AC上任意一點時APQ的面積,求x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】□ABCD中,∠A=60°,點E、F分別在邊AD、DC上,DE=DF,且∠EBF=60°.若AE=2,FC=3,則EF的長度為( 。

A. B. C. D. 5

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一次數(shù)學(xué)測驗后,王老師把某一小組10名同學(xué)的成績以平均成績?yōu)榛鶞?zhǔn),并以高于平均成績記為“+”,分別記為+10分,-5分,0分,+8分,-3分,+6分,-5分,-3分,+4分,-12分,通過計算知道這10名同學(xué)的平均成績是82.

1)這一小組成績最高分與最低分相差多少分?

2)如果成績不低于80分為優(yōu)秀,那么這10名同學(xué)在這次數(shù)學(xué)測驗中優(yōu)秀率是百分之幾?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案