【題目】定義:數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,李老師給出如下定義:如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,那么稱(chēng)三角形為“智慧三角形”.

理解:(1)如圖,已知是⊙上兩點(diǎn),請(qǐng)?jiān)趫A上找出滿足條件的點(diǎn),使為“智慧三角形”(畫(huà)出點(diǎn)的位置,保留作圖痕跡);

(2)如圖,在正方形中, 的中點(diǎn), 上一點(diǎn),且,試判斷是否為“智慧三角形”,并說(shuō)明理由;

運(yùn)用:(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙的半徑為,點(diǎn)是直線上的一點(diǎn),若在⊙上存在一點(diǎn),使得為“智慧三角形”,其面積的最小值為______.

【答案】

【解析】分析:(1)連結(jié)AO并且延長(zhǎng)交圓于C1,連結(jié)BO并且延長(zhǎng)交圓于C2,即可求解;

(2)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,表示出DF、CF以及EC、BE的長(zhǎng),然后根據(jù)勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根據(jù)勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形,由直角三角形的性質(zhì)可得△AEF為“智慧三角形”;

(3)根據(jù)“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形,根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時(shí),另一條直角邊最短,則面積取得最小值,由垂線段最短可得斜邊最短為3,根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊,再根據(jù)三角形面積可求斜邊的高,即點(diǎn)P的橫坐標(biāo),再根據(jù)勾股定理可求點(diǎn)P的縱坐標(biāo),從而求解.

詳解:1)如圖1所示:

2AEF是否為智慧三角形

理由如下:設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,

EDC的中點(diǎn),

DE=CE=2a,

BCFC=41,

FC=aBF=4a﹣a=3a,

RtADE中,AE2=4a2+2a2=20a2,

RtECF中,EF2=2a2+a2=5a2,

RtABF中,AF2=4a2+3a2=25a2

AE2+EF2=AF2,

∴△AEF是直角三角形,

∵斜邊AF上的中線等于AF的一半,

∴△AEF智慧三角形;

3)如圖3所示:

智慧三角形的定義可得△OPQ為直角三角形,

根據(jù)題意可得一條直角邊為1,當(dāng)斜邊最短時(shí),另一條直角邊最短,則面積取得最小值,

由垂線段最短可得斜邊最短為3

由勾股定理可得PQ=,

PM=1×2÷3=,

面積的最小值為:

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