Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線相交于點(diǎn)M，已知，點(diǎn)E在射線上，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿BD方向向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，以為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為；

（1）；

（2）求點(diǎn)落在上時(shí)的值；

（3）求平行四邊形與重疊部分面積S與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）連接平行四邊形的對(duì)角線，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，當(dāng)與的邊平行（不重合）或垂直時(shí)，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），S＝，S=；（4）t值為或或或2．

【解析】

（1）如圖，作DH⊥BE于H，解直角三角形求出BH，DH即可．

（2）如圖由PF∥CB，可得，構(gòu)造方程即可解得．

（3）分三種情況，當(dāng)0＜t≤時(shí)，重疊部分為平行四邊形PBQF；當(dāng)＜t≤1時(shí)，重疊部分為五邊形PBQRT；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，重疊部分為四邊形PBCT,分別求解解決即可．

（4）分四種情況：當(dāng)MN∥AB時(shí)，設(shè)CM交BF于T；當(dāng)MN⊥BC時(shí)；當(dāng)MN⊥AB時(shí)；當(dāng)P點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，MN∥BC，分別就出即可．

解：（1）如圖做DH⊥BE于H,

在Rt△BCD中，

∵DHC=，CD=5

tan∠DCH=

∴DH=4，CH=3

∴BH=BC+CH=5+3=8

∴tan∠DBE==

（2）如下圖

∵四邊形ABCD是菱形

∴AC⊥BD

∵BC=5，tan∠CBM=

∴CM=，BM=DM=

∵PF∥CB

∴

∴

解得t=．

（3）如下圖

當(dāng)0＜t≤，重疊部分為平行四邊形PBQF，

S=PB×PQ=

如下圖，

當(dāng)＜t≤1時(shí)，重疊部分是五邊形PBQRT，

S=

=．

如下圖

當(dāng)1＜t≤2時(shí)，重疊部分是四邊形PBCT

S=

=

（4）如下圖，當(dāng)MN∥AB時(shí)，設(shè)CM交BF于T

∵PN∥MT

∴

∴

∴MT=

∵M(jìn)N∥AB

∴

∴

∴

∴t=；

如下圖

當(dāng)MN⊥BC時(shí)，易知點(diǎn)F在DH上

∵PF∥BH，

∴

∴

解得t=；

如下圖

當(dāng)MN⊥AB時(shí)，易知∠PNM=∠ABD

可得tan∠PNM=

∴

解得t=

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，MN∥BC，此時(shí)t=2

綜上所述，滿足條件的t值為或或或2．