Question

【題目】如圖，線段BC和動(dòng)點(diǎn)A構(gòu)成△ABC，∠BAC=120°，BC=3，則△ABC周長(zhǎng)的最大值_____．

Answer 1

【答案】3+2

【解析】

延長(zhǎng)BA到D，使AD=AC，連接CD，作△BCD的外接圓⊙O，當(dāng)BD的長(zhǎng)度最大時(shí)，△ABC周長(zhǎng)最大，而BD為⊙O的直徑時(shí)，BD最大．設(shè)⊙O的半徑為r，連接OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)垂徑定理得出BE的長(zhǎng)，再用正弦函數(shù)得出OB的長(zhǎng)度，則BD的最大值可得，從而△ABC周長(zhǎng)的最大值可得．

延長(zhǎng)BA到D，使AD=AC，連接CD，作△BCD的外接圓⊙O，

∵AD=AC，

∴△ABC的周長(zhǎng)為：AB+BC+AC=AB+BC+AD=BD+BC．

∵BC=3，

∴當(dāng)BD的長(zhǎng)度最大時(shí)，△ABC周長(zhǎng)最大，

∴當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)O重合時(shí)，BD為⊙O的直徑，BD最大．

設(shè)⊙O的半徑為r，連接OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，

∵∠BAC=120°，

∴∠BOE=∠AOB=60°．

∵BC=3，OE⊥BC，

∴BE=，

∴=sin60°，

∴

∴r=，

∴BD的最大值為2r=2．

∴△ABC周長(zhǎng)的最大值為3+2．

故答案為：3+2．