【題目】如圖①,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點F.

(1)請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系(不需證明);

(2)如圖②,如果∠ACB不是直角,其他條件不變,那么在(1)中所得的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

【答案】(1)FE=FD (2)答案見解析

【解析】

(1)先在AC上截取AG=AE,連結(jié)FG,利用SAS判定AEF≌△AGF,得出∠AFE=AFG,F(xiàn)E=FG,再利用ASA判定CFG≌△CFD,得到FG=FD,進(jìn)而得出FE=FD;

(2)先過點F分別作FGAB于點G,F(xiàn)HBC于點H,則∠FGE=FHD=90°,根據(jù)已知條件得到∠GEF=HDF,進(jìn)而判定EGF≌△DHF(AAS),即可得出FE=FD.也可以過點FFGABG,作FHBCH,作FKACK,再判定EFG≌△DFH(ASA),進(jìn)而得出FE=FD.

(1)FEFD之間的數(shù)量關(guān)系為:FE=FD.

理由:如圖,在AC上截取AG=AE,連結(jié)FG,

AD是∠BAC的平分線,

∴∠1=2,

AEFAGF

∴△AEF≌△AGF(SAS),

∴∠AFE=AFG,F(xiàn)E=FG,

∵∠B=60°,AD,CE分別是∠BAC,BCA的平分線,

22+23+B=180°,

∴∠2+3=60°,

又∵∠AFEAFC的外角,

∴∠AFE=CFD=AFG=2+3=60°

∴∠CFG=180°-60°-60°=60°,

∴∠GFC=DFC,

CFGCFD中,

,

∴△CFG≌△CFD(ASA),

FG=FD,

FE=FD;

(2)結(jié)論FE=FD仍然成立.

如圖,過點F分別作FGAB于點G,F(xiàn)HBC于點H,則∠FGE=FHD=90°,

∵∠B=60°,且AD,CE分別是∠BAC,BCA的平分線,

∴∠2+3=60°,F(xiàn)ABC的內(nèi)心,

∴∠GEF=BAC+3=1+2+3=60°+1,

FABC的內(nèi)心,即F在∠ABC的角平分線上,

FG=FH,

又∵∠HDF=B+1=60°+1,

∴∠GEF=HDF,

EGFDHF中,

,

∴△EGF≌△DHF(AAS),

FE=FD.

練習(xí)冊系列答案
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根據(jù)以上規(guī)則,回答下列問題:

(1)求一次“有效隨機轉(zhuǎn)動”可獲得“樂”字的概率;

(2)有一名顧客憑本超市的購物小票,參與了一次抽獎活動,請你用列表或樹狀圖等方法,求該顧客經(jīng)過兩次“有效隨機轉(zhuǎn)動”后,獲得一瓶可樂的概率.

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參賽者

答對題數(shù)

答錯題數(shù)

得分

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10

10

40

小紅

19

1

94

小剛

20

0

100

小強

18

2

88

小麗

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1)根據(jù)所給圖中點P 的位置,分別畫出點 P 1、P 1;(不寫作圖步驟,但要保留作圖痕跡)

2)分別聯(lián)結(jié)OP、OP1、OP2,那么線段OP、OP1、OP2 之間的數(shù)量關(guān)系是:OP OP1 OP2(填空,不要求寫出過程);

3)由(1)、(2)可知,點 P 繞點O旋轉(zhuǎn)可以到達(dá)點P2的位置,如果 α=60°,OP= a,求線段 OP順時針旋轉(zhuǎn)到OP2 過程中掃過的面積;

4)在 α 取某些特定值的時候,如果按照這樣的方式翻折,總能得到一點Pn與點P 重合, 求當(dāng)n =12,點 P12 與點P 第一次重合時 α 的值.(直接寫出結(jié)果,不要求寫出過程)

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