【題目】數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上,張老師出示了下框中的問題:

已知:在Rt△ACB中,∠C=90°,點(diǎn)D是斜邊AB上的中點(diǎn),連接CD.

求證:CD=AB.

問題思考

(1)經(jīng)過獨(dú)立思考,同學(xué)們想出了多種正確的證明思想,其中有位同學(xué)的思路如下:如圖1,過點(diǎn)B作BE∥AC交CD的延長線于點(diǎn)E。請(qǐng)你根據(jù)這位同學(xué)的思路提示證明上述框中的問題.

方法遷移

(2)如圖2,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn),連接DE,線段DF始終與DE垂直且交BC于點(diǎn)F。試猜想線段AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

拓展延伸

(3)如圖3,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段AC延長線上一動(dòng)點(diǎn),連接DE,線段DF始終與DE垂直且交CB延長線于點(diǎn)F。試問第(2)小題中線段AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系會(huì)發(fā)生改變嗎?若會(huì),請(qǐng)寫出關(guān)系式;若不會(huì),請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)CD=AB;(2)AE2+BF2=EF2;(3)線段AE、EF、FB數(shù)量關(guān)系不會(huì)發(fā)生改變,仍有AE2+BF2=EF2.

【解析】分析:(1)證ΔACDΔBEDACB≌△EBC得證;

(2)如圖2,過BBGACED延長線于G,連接GF.通過證ΔADEΔBDG和在RtBFG中,得到AE2+BF2=EF2.

(3)如圖3,過AAG//BCFD的延長線于點(diǎn)G,連接EG,類似(2)問,通過證ΔADGΔBDF,將AE、BF、EF移至RtAEG中,可得AE2+BF2=EF2.

詳解:(1)證明:∵在⊿ABC中,∠C=90°,D是斜邊AB中點(diǎn),

BBE//ACCD延長線于E,

∴∠CAB=ABE, ACE=BEC,

∴⊿ADC∽⊿BDE,DCE中點(diǎn),

∵∠CAB+CBA=90°,ABE+CBA=90°,

∴⊿ABC≌⊿ECB,AB=CE,

CD=AB.

(2)證明:BBG//ACED延長線于G,連接GF.

∴∠EAD=GBD,又∠EDA=GDB,AD=DB,

ΔAEDΔBDG,AE=BG,DE=DG,

又∵DFDE,DFEG中垂線,EF=GF,

∵∠C=90,GBF=90,BF2+BG2=GF2;

AE2+BF2=EF2.

(3)線段AE、EF、FB的數(shù)量關(guān)系不會(huì)發(fā)生改變,仍有AE2+BF2=EF2.

證明:如圖3,過AAG//BCFD的延長線于點(diǎn)G,連接EG,

AG//BC,∴∠GAD=DBF,AGD=DFB,

∵點(diǎn)DAB的中點(diǎn),∴AD=DB,

∴⊿ADG≌⊿BDF,AG=BF,GD=DF,

DEDF,EF=EG,

AG//BC,EAG=ACB=90°,

AE2+AG2=EG2,

AE2+BF2=EF2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4.2),反比例函數(shù)與AB,BC分別交于點(diǎn)D,E。

(1)求直線DE的解析式;

(2)若點(diǎn)F為y軸上一點(diǎn),△OEF和△ODE的面積相等,求點(diǎn)F的坐標(biāo)。

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【題目】為打造引江樞紐風(fēng)光帶,一段長為1.2千米的河道整治任務(wù)交由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)接力完成,共用時(shí)60. 已知甲隊(duì)每天整治24米,乙隊(duì)每天整治16.

1)根據(jù)題意,小明、小麗分別列出如下的一元一次方程(尚不完整): 小明:. 小麗: =60. 請(qǐng)分別指出上述方程中的意義,并補(bǔ)全方程: 小明:表示 . 小麗:表示 .

2)請(qǐng)選擇其中一種方法,求甲、乙兩隊(duì)分別整治河道多少米?(寫出完整的解答過程

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【題目】一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和2個(gè)紅球,這些球除顏色外都相同.

1)攪勻后,從中任意摸出一個(gè)球,恰好是紅球的概率是   ;

2)攪勻后,從中任意摸出一個(gè)球,記錄顏色后放回、攪勻,再從中任意摸出一個(gè)球.

①求兩次都摸到紅球的概率;

②經(jīng)過了n摸球﹣記錄﹣放回的過程,全部摸到紅球的概率是   

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【題目】閱讀下列材料:我們知道a的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.數(shù)軸上數(shù)a與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離, 個(gè)結(jié)論可以推廣為: |a- b|均表示在數(shù)軸上數(shù)ab對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離,例:已知|a-1|=2, a的值.

:在數(shù)軸上與1的距離為2點(diǎn)的對(duì)應(yīng)數(shù)為3-1,即a的值為3-1.

仿照閱讀材料的解法,解決下列問題

(1)已知,求a的值.

(2)若數(shù)軸上表示a的點(diǎn)在-42之間,則|a+4|+|a-2|的值為___

(3)當(dāng)a滿足什么條件時(shí),|a-1|+ |a+2|有最小值,最小值是多少?

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