如圖,拋物線與x軸交于點A、B,且A點的坐標(biāo)為(1,0),與y軸交于點C(0,1).
(1)求拋物線的解析式,并求出點B坐標(biāo);
(2)過點B作BD∥CA交拋物線于點D,連接BC、CA、AD,求四邊形ABCD的周長;(結(jié)果保留根號)
(3)在x軸上方的拋物線上是否存在點P,過點P作PE垂直于x軸,垂足為點E,使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似?若存在請求出P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(1),B(﹣1,0);(2);(3)存在,P(,).
解析試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,點B坐標(biāo)可由對稱性質(zhì)得到,或令y=0,由解析式得到;
(2)關(guān)鍵是求出點D的坐標(biāo),然后利用勾股定理分別求出四邊形ABCD四個邊的長度;
(3)本問為存在型問題.可以先假設(shè)存在,然后按照題意條件求點P的坐標(biāo),如果能求出則點P存在,否則不存在.注意三角形相似有兩種情形,需要分類討論.
試題解析:(1)∵點A(1,0)和點C(0,1)在拋物線上,∴,解得:a=﹣1,b=1,∴拋物線的解析式為:,拋物線的對稱軸為y軸,則點B與點A(1,0)關(guān)于y軸對稱,∴B(﹣1,0);
(2)設(shè)過點A(1,0),C(0,1)的直線解析式為,可得:,解得k=﹣1,b=1,∴.∵BD∥CA,∴可設(shè)直線BD的解析式為,∵點B(﹣1,0)在直線BD上,∴,得,∴直線BD的解析式為:.將代入拋物線的解析式,得:,解得:x1=2,x2=﹣1,∵B點橫坐標(biāo)為﹣1,則D點橫坐標(biāo)為2,D點縱坐標(biāo)為y=﹣2﹣1=﹣3,∴D點坐標(biāo)為(2,﹣3).如答圖①所示,過點D作DN⊥x軸于點N,則DN=3,AN=1,BN=3,在Rt△BDN中,BN=DN=3,由勾股定理得:BD=;在Rt△ADN中,DN=3,AN=1,由勾股定理得:AD=;又OA=OB=OC=1,OC⊥AB,由勾股定理得:AC=BC=;∴四邊形ABCD的周長為:AC+BC+BD+AD=.
(3)假設(shè)存在這樣的點P,則△BPE與△CBD相似有兩種情形:(I)若△BPE∽△BDC,如答圖②所示,
則有,即,∴PE=3BE.設(shè)OE=m(m>0),則E(﹣m,0),BE=1﹣m,PE=3BE=3﹣3m,∴點P的坐標(biāo)為(﹣m,3﹣3m),∵點P在拋物線上,∴,解得m=1或m=2,當(dāng)m=1時,點E與點B重合,故舍去;當(dāng)m=2時,點E在OB左側(cè),點P在x軸下方,不符合題意,故舍去.因此,此種情況不存在;
(II)若△EBP∽△BDC,如答圖③所示,則有,即,∴BE=3PE.設(shè)OE=m(m>0),則E(m,0),BE=1+m,PE=BE=,∴點P的坐標(biāo)為(,).∵點P在拋物線上,∴,解得或m=,∵m>0,故舍去,∴m=,點P的縱坐標(biāo)為:,∴點P的坐標(biāo)為(,).
綜上所述,存在點P,使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似,點P的坐標(biāo)為(,).
考點:二次函數(shù)綜合題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A(-1, 0),與y軸交于點C(0,-5),且經(jīng)過點D(3,-8).
(1)求此二次函數(shù)的解析式和頂點坐標(biāo);
(2)請你寫出一種平移的方法,使平移后拋物線的頂點落在原點處,并寫出平移后拋物線的解析式.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知△OAB的頂點A(﹣6,0),B(0,2),O是坐標(biāo)原點,將△OAB繞點O按順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ODC.
(1)寫出C,D兩點的坐標(biāo);
(2)求過A,D,C三點的拋物線的解析式,并求此拋物線頂點E的坐標(biāo);
(3)證明AB⊥BE.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知:為邊長是的等邊三角形,四邊形為邊長是6的正方形. 現(xiàn)將等邊和正方形按如圖①的方式擺放,使點與點重合,點、、在同一條直線上,從圖①的位置出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿方向向右勻速運動,當(dāng)點與點重合時暫停運動,設(shè)的運動時間為秒().
(1)在整個運動過程中,設(shè)等邊和正方形重疊部分的面積為,請直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如圖②,當(dāng)點與點重合時,作的角平分線交于點,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn),使邊與邊重合,得到. 在線段上是否存在點,使得為等腰三角形. 如果存在,求線段的長度;若不存在,請說明理由.
(3)如圖③,若四邊形為邊長是的正方形,的移動速度為每秒 個單位長度,其余條件保持不變. 開始移動的同時,點從點開始,沿折線以每秒個單位長度開始移動,停止運動時,點也停止運動. 設(shè)在運動過程中,交折線于點,則當(dāng)時,求的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線y=2x2﹣2與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C.
(1)寫出以A,B,C為頂點的三角形面積;
(2)過點E(0,6)且與x軸平行的直線l1與拋物線相交于M、N兩點(點M在點N的左側(cè)),以MN為一邊,拋物線上的任一點P為另一頂點做平行四邊形,當(dāng)平行四邊形的面積為8時,求出點P的坐標(biāo);
(3)過點D(m,0)(其中m>1)且與x軸垂直的直線l2上有一點Q(點Q在第一象限),使得以Q,D,B為頂點的三角形和以B,C,O為頂點的三角形相似,求線段QD的長(用含m的代數(shù)式表示).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
銳角△ABC中,BC=6,,兩動點M,N分別在邊AB,AC上滑動,且MN∥BC,以MN為邊向下作正方形MPQN,設(shè)其邊長為x,正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y(y>0).
(1)求△ABC中邊BC上高AD;
(2)當(dāng)x為何值時,PQ恰好落在邊BC上(如圖1);
(3)當(dāng)PQ在△ABC外部時(如圖2),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(注明x的取值范圍),并求出x為何值時y最大,最大值是多少?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,拋物線與x軸交于點A(-1,0)、B(3,0),與y軸交于點C(0,3).
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo);
(2)若點P是拋物線第一象限上的一個動點,過點P作PQ∥AC交x軸于點Q.當(dāng)點P的坐標(biāo)為 時,四邊形PQAC是平行四邊形;當(dāng)點P的坐標(biāo)為 時,四邊形PQAC是等腰梯形. (利用備用圖畫圖,直接寫出結(jié)果,不寫求解過程).
(3)若P為線段BD上的一個動點,過點P作PM⊥x軸于點M,求四邊形PMAC的面積的最大值和此時點P的坐標(biāo)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線與x軸交于點B、C,與y軸交于點E,且點B在點C的左側(cè).
(1)若拋物線過點M(-2,-2),求實數(shù)a的值;
(2)在(1)的條件下,解答下列問題:
①求出△BCE的面積;
②在拋物線的對稱軸上找一點P,使CP+EP的值最小,求出點P的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)如圖,四邊形OABC為直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4).點M從O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向A運動;點N從B同時出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向C運動.其中一個動點到達(dá)終點時,另一個動點也隨之停止運動.過點N作NP垂直x軸于點P,連接AC交NP于Q,連接MQ.
(1)點 (填M或N)能到達(dá)終點;
(2)求△AQM的面積S與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍,當(dāng)t為何值時,S的值最大;
(3)是否存在點M,使得△AQM為直角三角形?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com