Question

如圖，已知：為邊長(zhǎng)是的等邊三角形，四邊形為邊長(zhǎng)是6的正方形. 現(xiàn)將等邊和正方形按如圖①的方式擺放，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)、、在同一條直線上，從圖①的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)暫停運(yùn)動(dòng)，設(shè)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）.

（1）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)等邊和正方形重疊部分的面積為，請(qǐng)直接寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，作的角平分線交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊與邊重合，得到. 在線段上是否存在點(diǎn)，使得為等腰三角形. 如果存在，求線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
（3）如圖③，若四邊形為邊長(zhǎng)是的正方形，的移動(dòng)速度為每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度，其余條件保持不變. 開(kāi)始移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始，沿折線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度開(kāi)始移動(dòng)，停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng). 設(shè)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，交折線于點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，求的值.

Answer 1

（1）當(dāng)0≤t＜ 時(shí)，S＝ t² ，當(dāng) ≤t≤6時(shí)，S＝；
（2）①AN=AH=4時(shí)，EH＝，②AH=NH時(shí)，EH＝；（3）t＝.

解析試題分析：（1）分兩種情況利用三角形的面積公式可以表示出0≤t＜ 時(shí)重疊部分的面積，
當(dāng)≤t≤6時(shí)用S_△ABC-就可以求出重疊部分的面積．
（2）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，BE＝CE＝ 
，再由條件可以求出AN的值，分三種情況討論求出EH的值，①AN=AH=4時(shí)，②AN=NH=4時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)在線段AG的延長(zhǎng)線上，③AH=NH時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)為線段AG的中垂線與AG的交點(diǎn)，從而可以求出答案．
（3）再運(yùn)動(dòng)中當(dāng)0≤t＜2時(shí)，如圖2，△PEC∽△EFQ，可以提出t值；當(dāng)2≤t≤4時(shí)，如圖3，△PEC∽△QDF，可以提出t值．
試題解析：（1）當(dāng)0≤t＜ 時(shí)，S＝ t²
當(dāng) ≤t≤6時(shí)，S＝．
（2）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，BE＝CE＝，
∵BM平分∠ABE，
∴∠MBE＝∠ABE＝30°
∴ME=2，
∵∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM=4，
∵△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=30°，AN=4
①AN=AH=4時(shí)，EH＝＝，
②AN=NH=4時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)在線段AG的延長(zhǎng)線上，∴舍去，
③AH=NH時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)為線段AG的中垂線與AG的交點(diǎn)，如圖1，
∴AK＝ AN＝2，AH＝ 
∴EH＝  ＝．
（3）當(dāng)0≤t＜2時(shí)，如圖2，△PEC∽△EFQ，
∴，
∴，
∴t＝.
考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.二次函數(shù)的應(yīng)用；3.全等三角形的判定與性質(zhì)；4.等腰三角形的判定.