【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,記∠ABC=α,點D為射線BC上的動點,連接AD,將射線DA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α角后得到射線DE,過點A作AD的垂線,與射線DE交于點P,點B關(guān)于點D的對稱點為Q,連接PQ.
(1)當△ABD為等邊三角形時,
①依題意補全圖1;
②PQ的長為 ;
(2)如圖2,當α=45°,且BD=時,求證:PD=PQ;
(3)設(shè)BC=t,當PD=PQ時,直接寫出BD的長.(用含t的代數(shù)式表示)
【答案】(1)①詳見解析;②2;(2)詳見解析;(3)BD=.
【解析】
(1)①根據(jù)題意畫出圖形即可.
②解直角三角形求出PA,再利用全等三角形的性質(zhì)證明PQ=PA即可.
(2)作PF⊥BQ于F,AH⊥PF于H.通過計算證明DF=FQ即可解決問題.
(3)如圖3中,作PF⊥BQ于F,AH⊥PF于H.設(shè)BD=x,則CD=x﹣t, ,利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可解決問題.
(1)解:①補全圖形如圖所示:
②∵△ABD是等邊三角形,AC⊥BD,AC=1
∴∠ADC=60°,∠ACD=90°
∴
∵∠ADP=∠ADB=60°,∠PAD=90°
∴PA=ADtan60°=2
∵∠ADP=∠PDQ=60°,DP=DP.DA=DB=DQ
∴△PDA≌△PDQ(SAS)
∴PQ=PA=2.
(2)作PF⊥BQ于F,AH⊥PF于H,如圖:
∵PA⊥AD,
∴∠PAD=90°
由題意可知∠ADP=45°
∴∠APD=90°﹣45°=45°=∠ADP
∴PA=PD
∵∠ACB=90°
∴∠ACD=90°
∵AH⊥PF,PF⊥BQ
∴∠AHF=∠HFC=∠ACF=90°
∴四邊形ACFH是矩形
∴∠CAH=90°,AH=CF
∵∠ACH=∠DAP=90°
∴∠CAD=∠PAH
又∵∠ACD=∠AHP=90°
∴△ACD≌△AHP(AAS)
∴AH=AC=1
∴CF=AH=1
∵,BC=1,B,Q關(guān)于點D對稱
∴,
∴
∴F為DQ中點
∴PF垂直平分DQ
∴PQ=PD.
(3)如圖3中,作PF⊥BQ于F,AH⊥PF于H.設(shè)BD=x,則CD=x﹣t,
∵PD=PQ,PF⊥DQ
∴
∵四邊形AHFC是矩形
∴
∵△ACB∽△PAD
∴
∴
∴
∵△PAH∽△DAC
∴
∴
解得
∴.
故答案是:(1)①詳見解析;②2;(2)詳見解析;(3).
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【題目】截至北京時間2020年3月22日14時30分,全球新冠肺炎確診病例達305740例,超過30萬,死亡病例累計12762人,將“305740”這個數(shù)字用科學記數(shù)法表示保留兩位有效數(shù)字為( )
A.3.05740×105B.3.05×105C.3.0×105D.3.1×105
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【題目】在半圓O中,AB為直徑,AC、AD為兩條弦,且∠CAD+∠CAB=90°.
(1)如圖1,求證:弧AC等于弧CD;
(2)如圖2,點E在直徑AB上,CE交AD于點F,若AF=CF,求證:AD=2CE;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接BD,若AE=4,BD=12,求弦AC的長.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=6,點E在對角線BD上,DE=2,連接CE,過點E作EF⊥CE,交線段AB于點F
(1)求證:CE=EF;
(2)求FB的長;
(3)連接FC交BD于點G.求BG的長.
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【題目】某地區(qū)為了了解當年春游時學生的個人消費情況,從其中一所學校的初三年級中隨機抽取了部分學生春游消費情況進行調(diào)查,并將這部分學生的消費額繪制成頻率分布直方圖.已知從左至右第一組的人數(shù)為12名.請根據(jù)所給的信息回答:
(1)被抽取調(diào)查的學生人數(shù)為 名;
(2)從左至右第五組的頻率是 ;
(3)假設(shè)每組的平均消費額以該組的最小值計算,那么被抽取學生春游的最低平均消費額為 元;
(4)以第(3)小題所求得的最低平均消費額來估計該地區(qū)全體學生春游的最低平均消費額,你認為是否合理?請說明理由.
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【題目】嘗試探究:如圖,在中,,,E,F分別是BC,AC上的點,且,則______;
類比延伸:如圖,若將圖中的繞點C順時針旋轉(zhuǎn),則在旋轉(zhuǎn)的過程中,值是否發(fā)生變化?請僅就圖的情形寫出推理過程;
拓展運用:若,,在旋轉(zhuǎn)過程中,當B,E,F三點在同一直線上時,請直接寫出此時線段AF的長.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過點P(3,4).
(1)求k的值;
(2)求OP的長;
(3)直線y=mx(m≠0)與反比例函數(shù)的圖象有兩個交點A,B,若AB>10,直接寫出m的取值范圍.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=45°,∠B=60°,BC為+1,點P為邊AB上一動點,過點P作PD⊥BC于點D,PE⊥AC于點E,則DE的最小值為_____.
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點,與軸的另一個交點為A(-2,0).
(1)求二次函數(shù)的解析式
(2)在拋物線上是否存在一點P,使△AOP的面積為3,若存在請求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
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