【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經過點A(0,﹣3)、B(﹣1,0)、C(2,﹣3),拋物線與x軸的另一交點為點E,點P為拋物線上一動點,設點P的橫坐標為t.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P在第一象限,點M為拋物線對稱軸上一點,當四邊形MBEP恰好是平行四邊形時,求點P的坐標;
(3)若點P在第四象限,連結PA、PE及AE,當t為何值時,△PAE的面積最大?最大面積是多少?
(4)是否存在點P,使△PAE為以AE為直角邊的直角三角形,若存在,直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)P(4,5);(3)當t=時,S有最大值;(4)存在,理由,點P的坐標為:(﹣2,5)或(1,﹣4)
【解析】
(1)拋物線y=ax2+bx+c經過點A(0,﹣3)、C(2,﹣3),則函數(shù)的對稱軸為:x=1,故點E(3,0),即可求解;
(2)四邊形MBEP恰好是平行四邊形時,則MP=BE=3,故t=4,則點P(4,5);
(3)△PAE的面積S=PH×OE=(t﹣3﹣t2+2t+3)=(﹣t2+3t),即可求解;
(4)分∠PEA=90°、∠PAE=90°兩種情況,分別求解即可.
解:(1)拋物線y=ax2+bx+c經過點A(0,﹣3)、C(2,﹣3),則函數(shù)的對稱軸為:x=1,
故點E(3,0),
拋物線表達式為:y=a(x﹣3)(x+1)=a(x2﹣2x﹣3),
故﹣3a=﹣3,解得:a=1,
故拋物線的表達式為:y=x2﹣2x﹣3…①;
(2)四邊形MBEP恰好是平行四邊形時,則MP=BE=4,
故t=4,則點P(4,5);
(3)過點C作y軸的平行線交AE于點H,
由點A、E的坐標得直線AE的表達式為:y=x﹣3,
設點P(t,t2﹣2t﹣3),則點H(t,t﹣3),
△PAE的面積S=PH×OE=(t﹣3﹣t2+2t+3)=(﹣t2+3t),
當t=時,S有最大值;
(4)直線AE表達式中的k值為1,則與之垂直的直線表達式中的k為﹣1.
①當∠PEA=90°時,
直線PE的表達式為:y=﹣x+b,經點E的坐標代入并解得:
直線PE的表達式為:y=﹣x+3…②,
聯(lián)立①②并解得:x=﹣2或3(舍去3),
故點P(﹣2,5);
②當∠PAE=90°時,
同理可得:點P(1,﹣4);
綜上,點P的坐標為:(﹣2,5)或(1,﹣4).
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【題目】如圖,已知A,B為反比例函數(shù)y1=圖象上兩點,連接AB,線段AB經過點O,C是反比例函數(shù)y2=(k<0)在第二象限內的圖象上一點,當△CAB是以AB為底的等腰三角形,且時,k的值為( )
A.﹣B.﹣3C.﹣4D.﹣
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【題目】若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去,再從余下的數(shù)中,減去個位數(shù)的2倍,如果差是7的倍數(shù),則原數(shù)能被7整除,如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù),就需要繼續(xù)上述[截尾、倍大、相減、驗差]的過程,直到能清楚判斷為止.
例如,判斷126是否7的倍數(shù)的過程如下:
12﹣6×2=0,0是7的倍數(shù),所以126是7的倍數(shù);
又例如判斷6789是否7的倍數(shù)的過程如下:
678﹣9×2=660,66﹣0×2=66,66不是7的倍數(shù),所以6789不是7的倍數(shù).
(1)請判斷2019和2555是否能被7整除,并說明理由;
(2)有一個千位數(shù)字是1的四位正整數(shù),百位數(shù)字與十位數(shù)字的和是7,個位數(shù)字是十位數(shù)字的3倍,且這個四位正整數(shù)是7的倍數(shù),求這個四位正整數(shù).
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【題目】如圖,我們規(guī)定菱形與正方形,矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”,在研究“接近度”時,應保證相似圖形的“接近度”相等.
(1)設菱形相鄰兩個內角的度數(shù)分別為,,將菱形的“接近度”定義為,于是越小,菱形越接近正方形.
①若菱形的一個內角為,則該菱形的“接近度”為_________;
②當菱形的“接近度”等于_________時,菱形是正方形;
(2)設矩形的長和寬分別為, ,試寫出矩形的“接近度”的合理定義.
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【題目】在直角坐標系中,我們把橫、縱坐標都為整數(shù)的點稱為整點,記頂點都是整點的三角形為整點三角形.如圖,已知整點A(2,3)、B(4,4),請在所給網(wǎng)格區(qū)域(含邊界)上按要求畫整點三角形.
(1)在圖1中畫一個△QAB,使點Q的橫、縱坐標之和等于點A的橫坐標;
(2)在圖2中畫一個△PAB,使點P、B橫坐標的平方和等于它們縱坐標和的4倍;
(3)在圖2中的線段AB上確定點N,連結線段PN,使S△PAN=S△PBN.
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【題目】對于一個函數(shù),自變量取時,函數(shù)值也等于,則稱是這個函數(shù)的不動點.
已知二次函數(shù).
(1)若3是此函數(shù)的不動點,則的值為__________.
(2)若此函數(shù)有兩個相異的不動點,,且,則的取值范圍為__________.
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【題目】如圖,在一次綜合實踐活動中,小亮要測量一樓房的高度,先在坡面D處測得樓房頂部A的仰角為300 ,沿坡面向下走到坡腳C處,然后在地面上沿CB向樓房方向繼續(xù)行走10米到達E處,測得樓房頂部A的仰角為600 .已知坡面CD=10米,山坡的坡度(坡度 是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比),
(1)求點D離地面高度(即點D到直線BC的距離);
(2)求樓房AB高度.(結果保留根式)
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【題目】某校在七年級、八年級開展了閱讀文學名著知識競賽.該校七、八年級各有學生400人,各隨機抽取20名學生進行了抽樣調查,獲得了他們知識競賽成績(單位:分),并對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.
a.七年級學生知識競賽成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率(80分及以上)如下表所示:
年級 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 優(yōu)秀率 |
七年級 | 84. 2 | 77 | 74 | 45﹪ |
b.八年級學生知識競賽成績的扇形統(tǒng)計圖如下(數(shù)據(jù)分為5組,A:50≤x≤59; B:60≤x≤69;C:70≤x≤79;D:80≤x≤89;E:90≤x≤100)
c.八年級學生知識競賽成績在D組的是:87 88 88 88 89 89 89 89
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)八年級學生知識競賽成績的中位數(shù)是 分;
(2)請你估計該校七、八年級所有學生中達到“優(yōu)秀”的有多少人?
(3)下列結論:①八年級成績的眾數(shù)是89分;②八年級成績的平均數(shù)可能為86分;③八年級成績的極差可能為50分.其中所有正確結論的序號是 .
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,若P和Q兩點關于原點對稱,則稱點P與點Q是一個“和諧點對”,表示為[P,Q],比如[P(1,2),Q(﹣1,﹣2)]是一個“和諧點對”.
(1)寫出反比例函數(shù)y=圖象上的一個“和諧點對”;
(2)已知二次函數(shù)y=x2+mx+n,
①若此函數(shù)圖象上存在一個和諧點對[A,B],其中點A的坐標為(2,4),求m,n的值;
②在①的條件下,在y軸上取一點M(0,b),當∠AMB為銳角時,求b的取值范圍.
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