【題目】如圖,平面直角坐標系中,拋物線y=x2﹣2x與x軸交于O、B兩點,頂點為P,連接OP、BP,直線y=x﹣4與y軸交于點C,與x軸交于點D.
(Ⅰ)直接寫出點B坐標 ;判斷△OBP的形狀 ;
(Ⅱ)將拋物線沿對稱軸平移m個單位長度,平移的過程中交y軸于點A,分別連接CP、DP;
(i)若拋物線向下平移m個單位長度,當S△PCD= S△POC時,求平移后的拋物線的頂點坐標;
(ii)在平移過程中,試探究S△PCD和S△POD之間的數(shù)量關(guān)系,直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系及對應的m的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)當y=0時,x2﹣2x=0,解得x=0(舍)或x=2,即B點坐標為(2,0),
∵拋物線y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1,
∴P點坐標為(1,﹣1),由勾股定理,得
OP2=(2﹣1)2+12=2,
∴OP2+BP2=OB2 , OP=BP,
∴△OBP是等腰直角三角形,
故答案為:(2,0);等腰直角三角形;
(Ⅱ)解:∵直線y=x﹣4與y軸交于點C,與x軸交于點D,
∴C(0,﹣4),D(4,0),當x=1時,y=﹣3,即M(1,﹣3),
拋物線向下平移m個單位長度,解析式為y=(x﹣1)2﹣(1+m),P(1,﹣1﹣m),
∴PM=|﹣(1+m)+3|=|m﹣2|,
S△PCD=S△PMC+S△PMD= PM|xP﹣xC|= |m﹣2|×4=2|m﹣2|,
(i)S△POC= AC|xP|= ×4×1=2,∵S△PCD= S△POC , ∴S△PCD=2|m﹣2|=2 ,解得m=2+ 或m=2﹣ ,∴P(1,﹣3﹣ )或(1,﹣3+ );
(ii)S△POD= OD|yP|= ×4×|1﹣(1+m)|=2|m+1|,
①當m≥2時,S△PCD=2|m﹣2|=2m﹣4,S△POD=2|m+1|=2m+2,∴S△POD﹣S△PCD=6
②當﹣1≤m<2時,S△PCD=2|m﹣2=4﹣2m,S△POD=2|m+1|=2m+2,∴S△POD+S△PCD=6
③當m<﹣1時,S△PCD=2|m﹣2|=4﹣2m,S△POD=2|m+1|=2﹣2m,∴S△POD﹣S△PCD=6,
綜上所述:當m≥2時,S△POD﹣S△PCD=6;當﹣1≤m<2時,S△POD+S△PCD=6;當m<﹣1時,S△POD﹣S△PCD=6
【解析】(Ⅰ)根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應關(guān)系,可得B點坐標,根據(jù)配方法,可得頂點坐標,根據(jù)勾股定理及勾股定理的逆定理,可得答案;(Ⅱ)根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應關(guān)系,可得C,D,M點坐標,根據(jù)平移規(guī)律,可得P點坐標,根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離較大的縱坐標減較小的縱坐標,可得PM的長,(i)根據(jù)面積的關(guān)系,可得關(guān)于m的方程,根據(jù)解方程,可得到頂點坐標;(ii)根據(jù)三角形的面積,可得答案.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD交于點O,過點B作BP∥AC,過點C作CP∥BD,BP與CP相交于點P.
(1)判斷四邊形BPCO的形狀,并說明理由;
(2)若將平行四邊形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,得到的四邊形BPCO是什么四邊形,并說明理由;
(3)若得到的是正方形BPCO,則四邊形ABCD是 .(選填平行四邊形、矩形、菱形、正方形中你認為正確的一個)
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠BAD=105°,在BC,CD上分別找一點M、N,使得△AMN周長最小,則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為 ( )
A. 100° B. 105° C. 120° D. 150°
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【題目】同學們,足球是世界上第一大運動,你熱愛足球運動嗎?已知在足球比賽中,勝一場得3分,平一場得1分,負一場得0分,一隊共踢了30場比賽,負了9場,共得47分,那么這個隊勝了( 。
A. 10場 B. 11場 C. 12場 D. 13場
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【題目】已知,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=3,點D為AB的中點,點E為線段BC上的點,連接DE,把△BDE沿著DE翻折得△B1DE.
(1)當A、D、B1、C構(gòu)成的四邊形為平行四邊形,求DE的長;
(2)當DB1⊥AC時,求△DE B1和△ABC重疊部分的面積.
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【題目】下列方程(1)=2;(2)5x﹣2=2x﹣(3﹣2x);(3)xy=5;(4)=﹣2;(5)x2﹣x=1;(6)x=0中一元一次方程有( 。
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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【題目】如圖1,平面直角坐標系中,直線AB:y=﹣x+b交x軸于點A(8,0),交y軸正半軸于點B.
(1)求點B的坐標;
(2)如圖2,直線AC交y軸負半軸于點C,AB=BC,P為線段AB上一點,過點P作y軸的平行線交直線AC于點Q,設點P的橫坐標為t,線段PQ的長為d,求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,M為CA延長線上一點,且AM=CQ,在直線AC上方的直線AB上是否存在點N,使△QMN是以QM為斜邊的等腰直角三角形?若存在,請求出點N的坐標及PN的長度;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,一艘船以每小時30海里的速度向北偏東75°方向航行,在點A處測得碼頭C在船的東北方向,航行40分鐘后到達B處,這時碼頭C恰好在船的正北方向,在船不改變航向的情況下,求出船在航行過程中與碼頭C的最近距離.(結(jié)果精確的0.1海里,參考數(shù)據(jù) ≈1.41, ≈1.73)
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【題目】如圖數(shù)軸上A、B、C三點對應的數(shù)分別是a、b、7,滿足OA=3,BC=1,P為數(shù)軸上一動點,點P從A出發(fā),沿數(shù)軸正方向以每秒1.5個單位長度的速度勻速運動,點Q從點C出發(fā)在射線CA上向點A勻速運動,且P、Q兩點同時出發(fā).
(1)求a、b的值
(2)當P運動到線段OB的中點時,點Q運動的位置恰好是線段AB靠近點B的三等分點,求點Q的運動速度
(3)當P、Q兩點間的距離是6個單位長度時,求OP的長.
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