Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作AC的垂線，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，連結(jié)AF、CE．

（1）求證：△AOE≌△COF．

（2）試判斷四邊形AFCE的形狀，并證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）四邊形AFCE是菱形，證明詳見解析．

【解析】

（1）由平行線的性質(zhì)得出∠OAE＝∠OCF．證出AO＝CO．由AS證明△AOE≌△COF即可；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，證出四邊形AFCE為平行四邊形，再由EF⊥AC，即可得出結(jié)論．

（1）證明：∵AD∥BC，

∴∠OAE＝∠OCF．

∵O是AC中點(diǎn)，

∴AO＝CO．

在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA）．

（2）解：四邊形AFCE為菱形，理由如下：

∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF．

又AE∥CF，

∴四邊形AECF為平行四邊形，

∵EF⊥AC，

∴平行四邊形AECF為菱形．