【題目】在等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
(1)如圖1,D,E是等腰Rt△ABC斜邊BC上兩動(dòng)點(diǎn),且∠DAE=45°,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后,得到△AFC,連接DF
①求證:△AED≌△AFD;
②當(dāng)BE=3,CE=7時(shí),求DE的長(zhǎng);
(2)如圖2,點(diǎn)D是等腰Rt△ABC斜邊BC所在直線上的一動(dòng)點(diǎn),連接AD,以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ADE,當(dāng)BD=3,BC=9時(shí),求DE的長(zhǎng).
【答案】(1)①見(jiàn)解析;②DE=;(2)DE的值為3或3
【解析】
(1)①先證明∠DAE=∠DAF,結(jié)合DA=DA,AE=AF,即可證明;②如圖1中,設(shè)DE=x,則CD=7﹣x.在Rt△DCF中,由DF2=CD2+CF2,CF=BE=3,可得x2=(7﹣x)2+32,解方程即可;
(2)分兩種情形:①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),如圖2中,連接BE.由△EAD≌△ADC,推出∠ABE=∠C=∠ABC=45°,EB=CD=5,推出∠EBD=90°,推出DE2=BE2+BD2=62+32=45,即可解決問(wèn)題;②當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3中,同法可得DE2=153.
(1)①如圖1中,
∵將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,得到△AFC,
∴△BAE≌△CAF,
∴AE=AF,∠BAE=∠CAF,
∵∠BAC=90°,∠EAD=45°,
∴∠CAD+∠BAE=∠CAD+∠CAF=45°,
∴∠DAE=∠DAF,
∵DA=DA,AE=AF,
∴△AED≌△AFD(SAS);
②如圖1中,設(shè)DE=x,則CD=7﹣x.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,
∵∠ABE=∠ACF=45°,
∴∠DCF=90°,
∵△AED≌△AFD(SAS),
∴DE=DF=x,
∵在Rt△DCF中, DF2=CD2+CF2,CF=BE=3,
∴x2=(7﹣x)2+32,
∴x=,
∴DE=;
(2)∵BD=3,BC=9,
∴分兩種情況如下:
①當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),如圖2中,連接BE.
∵∠BAC=∠EAD=90°,
∴∠EAB=∠DAC,
∵AE=AD,AB=AC,
∴△EAB≌△DAC(SAS),
∴∠ABE=∠C=∠ABC=45°,EB=CD=9-3=6,
∴∠EBD=90°,
∴DE2=BE2+BD2=62+32=45,
∴DE=3;
②當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3中,連接BE.
同理可證△DBE是直角三角形,EB=CD=3+9=12,DB=3,
∴DE2=EB2+BD2=144+9=153,
∴DE=3,
綜上所述,DE的值為3或3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】每天你是如何醒來(lái)的?某校有4000名學(xué)生,從不同班級(jí)不同層次抽取了400名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,下表是這400名學(xué)生早晨起床方式的統(tǒng)計(jì)表:
起床方式 | 人數(shù)/人 |
別人叫醒 | 172 |
鬧鐘 | 88 |
自己醒來(lái) | 64 |
其他 | 76 |
回答下列問(wèn)題:
(1)該問(wèn)題中總體是________;
(2)樣本是__________;樣本容量是__________.
(3)個(gè)體是________;
(4)估計(jì)全校學(xué)生中自己醒來(lái)的人數(shù)為________人.
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【題目】(1)探究新知:如圖1,已知與的面積相等,試判斷與的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(2)結(jié)論應(yīng)用:
①如圖2,點(diǎn),在反比例函數(shù)的圖像上,過(guò)點(diǎn)作軸,過(guò)點(diǎn)作軸,垂足分別為,,連接.試證明:.
②若①中的其他條件不變,只改變點(diǎn),的位置如圖3所示,請(qǐng)畫(huà)出圖形,判斷與的位置關(guān)系并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù)y=﹣2x+1,下列結(jié)論正確的是( )
A.y值隨x值的增大而增大
B.它的圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)
C.它的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣1,3)
D.它的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限
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【題目】高爾夫運(yùn)動(dòng)員將一個(gè)小球沿與地面成一定角度的方向擊出,在不考慮空氣阻力的條件下,小球的飛行高度h(m)與它的飛行時(shí)間(s)滿足二次函數(shù)關(guān)系,t與h的幾組對(duì)應(yīng)值如下表所示:
t(s) | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | … |
h(m) | 0 | 8.75 | 15 | 18.75 | 20 | … |
(1)求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)t的取值范圍);
(2)求小球飛行3s時(shí)的高度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=2x+6與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B的直線交x軸于點(diǎn)C,且AB=BC.
(1)求直線BC的解析式;
(2)點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn),點(diǎn)Q為線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且AP=CQ,設(shè)點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為m,求點(diǎn)P的坐標(biāo)(用含m的式子表示,不要求寫(xiě)出自變量m的取值范圍);
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸上,且MP=MQ,若∠BQM=45°,求直線PQ的解析式.
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【題目】如圖表示甲和乙沿相同路線相向行駛,,表示兩人離地行駛的路程(千米)與經(jīng)過(guò)的時(shí)間(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系.甲先出發(fā),兩地相距90千米.請(qǐng)根據(jù)這個(gè)行駛過(guò)程中的圖象填空:
(1)表示甲離地的距離與時(shí)間的關(guān)系的圖象是 (填或),甲的速度是 ,乙的速度是: .
(2)甲出發(fā)多少時(shí)間兩人恰好相距?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
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(2)若m為負(fù)整數(shù),求此時(shí)方程的根.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC≌Rt△CED(∠ACB=∠CDE=90°),點(diǎn)D在BC上,AB與CE相交于點(diǎn)F
(1) 如圖1,直接寫(xiě)出AB與CE的位置關(guān)系
(2) 如圖2,連接AD交CE于點(diǎn)G,在BC的延長(zhǎng)線上截取CH=DB,射線HG交AB于K,求證:HK=BK
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