Question

【題目】如圖，在四邊形中，、為對(duì)角線，點(diǎn)、、、分別為、、、邊的中點(diǎn)，下列說法：

①當(dāng)時(shí)，、、、四點(diǎn)共圓．②當(dāng)時(shí)，、、、四點(diǎn)共圓．③當(dāng)且時(shí)，、、、四點(diǎn)共圓．其中正確的是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接EM,MF,FN,NE,連接EF,MN,交于O,利用三角形中位線定理可證明四邊形ENFM為平行四邊形，然后根據(jù)判定出ENFM的形狀，可知M,E,N,F是否共圓.

連接EM,ME,FN,NE,FE,NM,交于點(diǎn)O，

∵M,E,N,F為AD,AB,CB,CD的中點(diǎn)，

∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥ME,EM=NF=BD,EN=MF=AC,

∴四邊形ENFM為平行四邊形.

當(dāng)AC=BD,則有EM=EN,所以平行四邊形ENFM是菱形，而菱形的四個(gè)頂點(diǎn)不一定共圓，故①不一定成立,

當(dāng)AC⊥BD時(shí)，由EMBD,EN∥AC，EM∥EN,可得：∠MEN=90°，所以平行四邊形ENFM為矩形，則有OE=ON=OF=OM,所以E,M,N,F四點(diǎn)共圓，正確

當(dāng)AC=BD且AC⊥BD，同理可得四邊形ENFM為正方向，則有OE=ON=OF=OM,所以MENF四點(diǎn)共圓，正確，

所以答案選擇C項(xiàng).