【題目】如圖，在四邊形中，是對角線，，，延長交的延長線于點.

（1）求證：；

（2）若，求的值；

（3）過點作，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點，連接.設，點是直線上的動點，當的值最小時，點與點是否可能重合？若可能，請說明理由并求此時的值（用含的式子表示）；若不可能，請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）；（3）可以重合，理由見解析，的最小值為.

【解析】

（1）運用HL證明即可得到結論；

（2）根據(jù)已知條件可證出AB=BE，從而可得∠BAE=45°,再由角平分線的定義可得∠BAC的度數(shù)；

（3）連接，連接，延長交的延長線于點.證明點與點關于直線成軸對稱，也即點、點、點關于直線的對稱點，這三點共線，也即的值最小時，點與點重合.再證明為等邊三角形即可得到結論.

（1）證明：，

，，

.

.

（2），

又，

.

，

.

.

，

.

由（1）得，

.

.

（3）當的值最小時，點與點可以重合，理由如下：

，

，.

，

.

.

.

由（1）得，，

，

.即平分.

又，，

.

連接，連接，延長交的延長線于點.

設，則.

在中，.

在中，.

，

.

，

.

當時，

，，

.

.

即點與點關于直線成軸對稱，也即點、點關于直線的對稱點，這三點共線，也即的值最小時，點與點重合.

因為當時，，也即.

所以，當時，取最小值時的點與點重合.

此時的最小值即為.

，，，

.

.

.

，，三點共線.

當時，在中，

.

∴ ∠EPA＝60°.

為等邊三角

.，

.

.

，

.

的最小值為.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】甲、乙兩地之間的鐵路交通設有特快列車和普通快車兩種車次，某天一輛普通快車從甲地出發(fā)勻速向乙地行駛，同時另一輛特快列車從乙地出發(fā)勻速向甲地行駛，兩車離甲地的路程S（千米）與行駛時間t（時）之間的函數(shù)關系如圖所示．

（1）甲地到乙地的路成為________千米，普通快車到達乙地所用時間為_______小時．

（2）求特快列車離甲地的路程s與t之間的函數(shù)關系式．

（3）在甲、乙兩地之間有一座鐵路橋，特快列車到鐵路橋后又行駛0.5小時與普通快車相遇，求甲地與鐵路橋之間的路程．

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（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E得度數(shù)．

（2）當點P在線段AD上運動時，設∠B=α，∠ACB=β（β＞α），求∠E得大�。ㄓ煤�α、β的代數(shù)式表示）

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【題目】已知銳角∠MPN，依照下列步驟進行尺規(guī)作圖：

（1）在射線PN上截取線段PA；

（2）分別以P，A為圓心，大于PA的長為半徑作弧，兩弧相交于E，F兩點；

（3）作直線EF，交射線PM于點B；

（4）在射線AN上截取AC＝PB；

（5）連接BC.

則∠BCP與∠MPN之間的數(shù)量關系是_______________________.

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【題目】某商品的進價為每件50元．當售價為每件70元時，每星期可賣出300件，現(xiàn)需降價處理，且經市場調查：每降價1元，每星期可多賣出20件．在確保盈利的前提下，解答下列問題：

（1）若設每件降價x元、每星期售出商品的利潤為y元，請寫出y與x的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍；

（2）當降價多少元時，每星期的利潤最大？最大利潤是多少？

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【題目】如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為48和36，求△EDF的面積________.

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（2）如圖2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判斷線段AD，DC與BE之間的關系，并說明理由．

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①當時，、、、四點共圓．②當時，、、、四點共圓．③當且時，、、、四點共圓．其中正確的是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

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