【題目】已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,AC是⊙O的直徑,DE⊥AB,垂足為E.
(1)延長(zhǎng)DE交⊙O于點(diǎn)F,延長(zhǎng)DC,F(xiàn)B交于點(diǎn)P,如圖1.求證:PC=PB;
(2)過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AD,垂足為G,BG交DE于點(diǎn)H,且點(diǎn)O和點(diǎn)A都在DE的左側(cè),如圖2.若AB= ,DH=1,∠OHD=80°,求∠BDE的大。
【答案】(1)詳見解析;(2)∠BDE=20°.
【解析】
(1)根據(jù)已知條件易證BC∥DF,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠F=∠PBC;再利用同角的補(bǔ)角相等證得∠F=∠PCB,所以∠PBC=∠PCB,由此即可得出結(jié)論;(2)連接OD,先證明四邊形DHBC是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BC=DH=1,在Rt△ABC中,用銳角三角函數(shù)求出∠ACB=60°,進(jìn)而判斷出DH=OD,求出∠ODH=20°,再求得∠NOH=∠DOC=40°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠OAD=∠DOC=20°,最后根據(jù)圓周角定理及平行線的性質(zhì)即可求解.
(1)如圖1,∵AC是⊙O的直徑,
∴∠ABC=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°,
∴∠DEA=∠ABC,
∴BC∥DF,
∴∠F=∠PBC,
∵四邊形BCDF是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠F+∠DCB=180°,
∵∠PCB+∠DCB=180°,
∴∠F=∠PCB,
∴∠PBC=∠PCB,
∴PC=PB;
(2)如圖2,連接OD,
∵AC是⊙O的直徑,
∴∠ADC=90°,
∵BG⊥AD,
∴∠AGB=90°,
∴∠ADC=∠AGB,
∴BG∥DC,
∵BC∥DE,
∴四邊形DHBC是平行四邊形,
∴BC=DH=1,
在Rt△ABC中,AB=,tan∠ACB=,
∴∠ACB=60°,
∴BC=AC=OD,
∴DH=OD,
在等腰△DOH中,∠DOH=∠OHD=80°,
∴∠ODH=20°,
設(shè)DE交AC于N,
∵BC∥DE,
∴∠ONH=∠ACB=60°,
∴∠NOH=180°﹣(∠ONH+∠OHD)=40°,
∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠DOC=20°,
∴∠CBD=∠OAD=20°,
∵BC∥DE,
∴∠BDE=∠CBD=20°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某實(shí)驗(yàn)中學(xué)為了解學(xué)生“最適合自己的考前減壓方式”,在九年級(jí)范圍內(nèi)開展了一次抽樣調(diào)查,學(xué)生必須在四類選項(xiàng)中選擇一項(xiàng),小明根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題:
(1)這次抽樣調(diào)查中,抽查的學(xué)生人數(shù)為______人.
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“其他”所對(duì)應(yīng)扇形圓心角為______度.
(4)若實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)有700人,請(qǐng)估計(jì)采用“聽音樂(lè)”作為減壓方式的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 (1)閱讀理解:
我們知道,只用直尺和圓規(guī)不能解決的三個(gè)經(jīng)典的希臘問(wèn)題之一是三等分任意角,但是這個(gè)任務(wù)可以借助如圖所示的一邊上有刻度的勾尺完成,勾尺的直角頂點(diǎn)為P,“寬臂”的寬度=PQ= QR = RS,(這個(gè)條件很重要哦!)勾 尺的一邊 MN 滿足M, N, Q三點(diǎn)共線(所以PQ ⊥ MN).
下面以三等分∠ABC為例說(shuō)明利用勾尺三等分銳角的過(guò)程:
第一步:畫直線DE使DE //BC,且這兩條平行線的距離等于PQ;
第二步:移動(dòng)勾尺到合適位置,使其頂點(diǎn)P落在DE上,使勾尺的MN邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,同時(shí)讓點(diǎn)R落在∠ABC的BA邊上;
第三步:標(biāo)記此時(shí)點(diǎn)Q和點(diǎn)P所在位置,作射線BQ和射線BP:
請(qǐng)完成第三步操作,圖中∠ABC的三等分線是射線 、 .
(2)在(1)的條件下補(bǔ)全三等分∠ABC的主要證明過(guò)程:
∵ ,BQ ⊥ PR,
∴BP= BR.(線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等)
∴∠RBQ=∠PBQ,
∵PT⊥BC,PQ⊥BQ,PT=PQ,
∴∠ = ∠ . (角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)
∴∠ = = ∠ = ∠
(3)在(1)的條件下探究:
∠ABS=∠ABC是否成立?如果成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;如果不成立,請(qǐng)?jiān)谙聢D中∠ABC外部畫出∠ABV =∠ABC(無(wú)需寫畫法,保留畫圖痕跡即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在日常生活中,如取款、上網(wǎng)等都需要密碼,有一種利用“因式分解”產(chǎn)生的密碼,方便記憶,原理是:如多項(xiàng)式,若,時(shí),則各因式的值為,,,于是把018162作為一個(gè)六位數(shù)的密碼,對(duì)于多項(xiàng)式,取,時(shí),用上述方法產(chǎn)生的密碼是_________________.(寫一個(gè)即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩家快遞公司攬件員(攬收快件的員工)的日工資方案如下:
甲公司為“基本工資+攬件提成”,其中基本工資為70元/日,每攬收一件提成2元;
乙公司無(wú)基本工資,僅以攬件提成計(jì)算工資.若當(dāng)日攬件數(shù)不超過(guò)40,每件提成4元;若當(dāng)日攪件數(shù)超過(guò)40,超過(guò)部分每件多提成2元.
如圖是今年四月份甲公司攬件員人均攬件數(shù)和乙公司攪件員人均攬件數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖:
(1)現(xiàn)從今年四月份的30天中隨機(jī)抽取1天,求這一天甲公司攬件員人均攬件數(shù)超過(guò)40(不含40)的概率;
(2)根據(jù)以上信息,以今年四月份的數(shù)據(jù)為依據(jù),并將各公司攬件員的人均攬件數(shù)視為該公司各攬件員的
攬件數(shù),解決以下問(wèn)題:
①估計(jì)甲公司各攬件員的日平均件數(shù);
②小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘攬件員,如果僅從工資收入的角度考慮,請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)幫他選擇,井說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(題文)如圖,已知正方形ABCD,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),DE與AC相交于點(diǎn)F,連接BF,下列結(jié)論:①S△ABF=S△ADF;②S△CDF=2S△CEF;③S△ADF=2S△CEF;④S△ADF=2S△CDF,其中正確的是( 。
A. ①②③ B. ②③ C. ①④ D. ①②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司開發(fā)出一款新的節(jié)能產(chǎn)品,該產(chǎn)品的成本價(jià)為6元件,該產(chǎn)品在正式投放市場(chǎng)前通過(guò)代銷點(diǎn)進(jìn)行了為期30天的試銷售,售價(jià)為8元/件,工作人員對(duì)銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄,并將記錄情況繪成如圖所示的圖象,圖中的折線ODE表示日銷售量y(件)與銷售時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系,已知線段DE表示的函數(shù)關(guān)系中,時(shí)間每增加1天,日銷售量減少5件.
(1)第24天的日銷售量是 件,日銷售利潤(rùn)是 元.
(2)求線段DE所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.(不要求寫出自變量的取值范圍)
(3)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明試銷售期間第幾天的日銷售量最大?最大日銷售量是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖:在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形OABC是長(zhǎng)方形,點(diǎn)A、C、D的坐標(biāo)分別為A(9,0)、C(0,4),D(5,0),點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿O→C→B→A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)t=5時(shí), OP長(zhǎng)為____________;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí),OP+PD有最小值嗎?如果有,請(qǐng)算出該最小值,如果沒有,請(qǐng)說(shuō)明理由;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)依次為(0,0)、(6,0)(8,6)、(2,6),若一次函數(shù)y=mx﹣6m的圖象將四邊形ABCD的面積分成1:3兩部分,則m的值為_____.
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