【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(4,0),C(0,3)三點,D為直線BC上方拋物線上一動點,DE⊥BCE.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式;

(2)如圖1,求線段DE長度的最大值;

(3)如圖2,設(shè)AB的中點為F,連接CD,CF,是否存在點D,使得△CDE中有一個角與∠CFO相等?若存在,求點D的橫坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+x+3;(2) a=2時,DE取最大值,最大值是;(3)存在點D,使得△CDE中有一個角與∠CFO相等,點D的橫坐標為

【解析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;

(2)根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標,可得DM,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得DE的長,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案;

(3)根據(jù)正切函數(shù),可得∠CFO,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得GH,BH,根據(jù)待定系數(shù)法,可得CG的解析式,根據(jù)解方程組,可得答案.

(1)由題意,得,

解得,

拋物線的函數(shù)表達式為y=-x2+x+3;

(2)設(shè)直線BC的解析是為y=kx+b,

,

解得

∴y=-x+3,

設(shè)D(a,-a2+a+3),(0<a<4),過點DDM⊥x軸交BCM點,如圖1

,

M(a,-a+3),

DM=(-a2+a+3)-(-a+3)=-a2+3a,

∵∠DME=∠OCB,∠DEM=∠BOC,

∴△DEM∽△BOC,

∵OB=4,OC=3,

∴BC=5,

∴DE=DM

∴DE=-a2+a=-(a-2)2+,

a=2時,DE取最大值,最大值是,

(3)假設(shè)存在這樣的點D,△CDE使得中有一個角與∠CFO相等,

∵點FAB的中點,

∴OF=,tan∠CFO==2,

過點BBG⊥BC,交CD的延長線于G點,過點GGH⊥x軸,垂足為H,如圖2

①若∠DCE=∠CFO,

∴tan∠DCE==2,

∴BG=10,

∵△GBH∽BCO,

∴GH=8,BH=6,

∴G(10,8),

設(shè)直線CG的解析式為y=kx+b,

,

解得,

∴直線CG的解析式為y=x+3,

,

解得x=,或x=0(舍).

②若∠CDE=∠CFO,

同理可得BG=,GH=2,BH=,

∴G(,2),

同理可得,直線CG的解析是為y=-x+3,

,

解得x=x=0(舍),

綜上所述,存在點D,使得△CDE中有一個角與∠CFO相等,點D的橫坐標為

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