Question

【題目】已知關(guān)于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2 ．
（1）求k的取值范圍；
（2）試說明x1＜0，x2＜0；
（3）若拋物線y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離分別為OA、OB，且OA+OB=2OAOB﹣3，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知：△=[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）＞0，

即﹣12k+5＞0

∴ ．

（2）解：∵ ，

∴x1＜0，x2＜0．

（3）解：依題意，不妨設(shè)A（x1，0），B（x2，0）．

∴OA+OB=|x1|+|x2|=﹣（x1+x2）=﹣（2k﹣3），

OAOB=|﹣x1||x2|=x1x2=k2+1，

∵OA+OB=2OAOB﹣3，

∴﹣（2k﹣3）=2（k2+1）﹣3，

解得k1=1，k2=﹣2．

∵ ，

∴k=﹣2．

【解析】（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則判別式大于0，據(jù)此即可列不等式求得k的范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，說明兩根的和小于0，且兩根的積大于0即可；（3）不妨設(shè)A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）．利用x1 ， x2表示出OA、OB的長，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，以及OA+OB=2OAOB﹣3即可列方程求解．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解求根公式(根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根)，還要掌握根與系數(shù)的關(guān)系(一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．