Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．

（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；

（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由；

（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1），直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1（2）（3）（2，3）、（0，1）、、。（4）

【解析】

解：（1）由拋物線y=﹣x2+bx+c過點A（﹣1，0）及C（2，3）得，

，解得。∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為。

設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+n，由直線AC過點A（﹣1，0）及C（2，3）得

，解得。∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1。

（2）作N點關(guān)于直線x=3的對稱點N′，

令x=0，得y=3，即N（0，3）。

∴N′（6， 3）

由得

D（1，4）。

設(shè)直線DN′的函數(shù)關(guān)系式為y=sx+t，則

，解得。

∴故直線DN′的函數(shù)關(guān)系式為。

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，知當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小，

∴。

∴使MN+MD的值最小時m的值為。

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），

①當(dāng)BD為平行四邊形對角線時，由B、C、D、N的坐標(biāo)知，四邊形BCDN是平行四邊形，此時，點E與點C重合，即E（2，3）。

②當(dāng)BD為平行四邊形邊時，

∵點E在直線AC上，∴設(shè)E（x，x+1），則F（x，）。

又∵BD=2

∴若四邊形BDEF或BDFE是平行四邊形時，BD=EF。

∴，即。

若，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。

若，解得，，∴E或E。

綜上，滿足條件的點E為（2，3）、（0，1）、、。

（4）如圖，過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q；過點C作CG⊥x軸于點G，

設(shè)Q（x，x+1），則P（x，﹣x2+2x+3）。

∴。

∴

。

∵，

∴當(dāng)時，△APC的面積取得最大值，最大值為。

（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式。

（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系作N點關(guān)于直線x=3的對稱點N′，當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小。

（3）分BD為平行四邊形對角線和BD為平行四邊形邊兩種情況討論。

（4）如圖，過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q；過點C作CG⊥x軸于點G，設(shè)Q（x，x+1），則P（x，﹣x2+2x+3），求得線段PQ=﹣x2+x+2。由圖示以及三角形的面積公式知，由二次函數(shù)的最值的求法可知△APC的面積的最大值。