【題目】如圖,在中,,的垂直平分線分別與,及的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),,.是的外接圓,連接.
(1)求證:是的切線;
(2)若,求證:;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)時(shí),求的值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3).
【解析】
(1)BD與⊙O相切,如圖1,連接OB證得∠DBO=90°,即可得到BD與⊙O相切;
(2)由垂直的定義可得∠EBF=∠ADF=90°,于是得到∠C=∠BFE,從而證得△ABC≌△EBF;
(3)如圖2,連接CF,由等腰直角三角形的性質(zhì)得到CF=BF,由于DF垂直平分AC,得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF,求得BF=+1,再利用相似三角形的性質(zhì)證明DEEF=BEEC即可解決問(wèn)題.
(1)如圖1,連接OB,
∵OB=OF,
∴∠OBF=∠OFB.
∵∠ABC=90°,AD=CD,
∴BD=CD,
∴∠C=∠DBC.
∵DF⊥AC,,
∴∠ADF=90,
∴∠C+∠A=∠BFE+∠A=90,
∵∠C=∠BFE,
∴∠DBC=∠OBF,
∵∠CBO+∠OBF=90°,
∴∠DBC+∠CBO=90°,
∴∠DBO=90°,
∴BD是⊙O的切線;
(2)由(1)得:∠C=∠BFE,
在△ABC與△EBF中,
,
∴△ABC≌△EBF(AAS);
(3)如圖2,連接CF,
∵△ABC≌△EBF,∠CBF=90°,
∴BC=BF,
∴,
∵DF垂直平分AC,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵∠CED=∠BEF,∠CDE=∠EBF,
∴△CED∽△FEB,
∴,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是半圓的直徑,、是半圓上的兩點(diǎn),且,與交于點(diǎn).
(1)若,求的度數(shù);
(2)若,,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=x2﹣6x+m滿足以下條件:當(dāng)﹣2<x<﹣1時(shí),它的圖象位于x軸的下方;當(dāng)8<x<9時(shí),它的圖象位于x軸的上方,則m的值為( )
A.27B.9C.﹣7D.﹣16
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),按A→B→C的方向在AB和BC上移動(dòng),記PA=x,點(diǎn)D到直線PA的距離為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是( )
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AC=4,BC=3,AB=5,AD為△ABC的角平分線,則CD的長(zhǎng)度為( 。
A.1B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線l:y=分別交x軸、y軸于點(diǎn)A和點(diǎn)A1,過(guò)點(diǎn)A1作A1B1⊥l,交x軸于點(diǎn)B1,過(guò)點(diǎn)B1作B1A2⊥x軸,交直線l于點(diǎn)A2;過(guò)點(diǎn)A2作A2B2⊥l,交x軸于點(diǎn)B2,過(guò)點(diǎn)B2作B2A3⊥x軸,交直線l于點(diǎn)A3;依此規(guī)律...若圖中陰影△A1OB1的面積為S1,陰影△A2B1B2的面積S2,陰影△A3B2B3的面積S3...,則Sn=__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(1,),B(2,0),C點(diǎn)在x軸上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)O作直線AC的垂線,垂足為D.當(dāng)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng).則線段BD長(zhǎng)的最大值為______________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新冠肺炎疫情期間,某小區(qū)計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種品牌的消毒劑,乙品牌消毒劑每瓶的價(jià)格比甲品牌消毒劑每瓶?jī)r(jià)格的3倍少50元,已知用300元購(gòu)買甲品牌消毒劑的數(shù)量與用400元購(gòu)買乙品牌消毒劑的數(shù)量相同.
(1)求甲、乙兩種品牌消毒劑每瓶的價(jià)格各是多少元?
(2)若該小區(qū)從超市一次性購(gòu)買甲、乙兩種品牌的消毒劑共40瓶,且總費(fèi)用為1400元,求購(gòu)買了多少瓶乙品牌消毒劑?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,半圓O的直徑AB=6cm,點(diǎn)M在線段AB上,且BM=1cm,點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AN⊥直線PM,垂足為點(diǎn)N.
小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)線段AN,MN,PM的長(zhǎng)度之間的關(guān)系進(jìn)行了探究.下面是小東的探究過(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)對(duì)于點(diǎn)P在上的不同位置,畫(huà)圖、測(cè)量,得到了線段AN,MN,PM的長(zhǎng)度的幾組值,如表:
位置1 | 位置2 | 位置3 | 位置4 | 位置5 | 位置6 | 位置7 | |
AN/cm | 0.00 | 3.53 | 4.58 | 5.00 | 4.58 | 4.00 | 0.00 |
MN/cm | 5.00 | 3.53 | 2.00 | 0.00 | 2.00 | 3.00 | 5.00 |
PM/cm | 1.00 | 1.23 | 1.57 | 2.24 | 3.18 | 3.74 | 5.00 |
在AN,MN,PM的長(zhǎng)度這三個(gè)量中,確定 的長(zhǎng)度是自變量, 和 的長(zhǎng)度都是這個(gè)自變量的函數(shù);
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中,畫(huà)出(1)中所確定的函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合函數(shù)圖象,解決問(wèn)題:當(dāng)AN=MN時(shí),PM的長(zhǎng)度約為 cm.
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