【題目】綜合題,如圖,正方形ABCD。
(1)請在圖①中作兩條直線,使它們將正方形ABCD的面積三等分;

(2)如圖②,在矩形ABCD中,AB=6,BC=9,在圖②中過頂點A作兩條直線,使它們將矩形ABCD的面積三等分,井說明理由;

(3)如圖③,農(nóng)博園有一塊不規(guī)則的五邊形ABCDE空地,其中AB∥CD、AE∥BC,AB=AC=100米,AE=160米,BC=120米,CD=62.5米,根據(jù)視覺效果和花期特點,農(nóng)博園設(shè)計部門想在這片空地種上等面積的三種不同的花,要求從入口A點處修兩條筆直的小路(小路的面積忽略不計)方便游客賞花,兩條小路將這塊地面積三等分.請通過計算畫圖說明其設(shè)計部們能否實現(xiàn),若能實現(xiàn)請確定小路盡頭的位置.

【答案】
(1)解:在正方形ABCD中,

分別取BC、AD的三等分點E、F、G、H,

作直線EG、FH,

即把正方形ABCD的面積三等分;

如圖1所示:


(2)解:在矩形ABCD中,

分別取BC、CD的三等分點E、F、G、H,

作直線AF、AG,

即把正方形ABCD的面積三等分;

如圖2所示;

問題解決


(3)解:作AF⊥BC于F,延長CD交AE于G,如圖3所示:

∵AB=AC,

∴BF=CF= BC=60米

∴AF= = =80(米),

∵AB∥CD、AE∥BC,

∴四邊形ABCG是平行四邊形,

∴平行四邊形ABCG的面積=BCAF=120×80=9600(平方米),

∴CG=AB=100米,AG=BC=120米,DG=CG﹣CD=100﹣62.5=37.5(米),GE=AE﹣AG=160﹣120=40(米),

= = ,

∵AF=80米,

∴根據(jù)平行線截得的線段成比例:△DGE的GE邊上的高為:30米,

∴SDGE= ×30×40=600(平方米),

五邊形ABCDE的面積=平行四邊形ABCG的面積+SDGE=9600+600=10200(平方米),

則三等分面積為3400平方米,

設(shè)在BC邊上截取點H,使△ABH的面積為3400平方米,

AFBH=3400, ×80BH=3400,

解得:BH=85(米),

∵SABC= BCAF= ×120×80=4800(平方米),

∴SACH=SABC﹣SABH=4800﹣3400=1400(平方米),

∵SACD=480× =300(平方米),140+200=340(平方米),

∴在CD上取CD的第二個三等分點M,CM= CD= (米),

∴直線AH、AM就可把五邊形面積三等分,

∴H、M點就是小路盡頭的位置.


【解析】(1)分別取BC、AD的三等分點E、F、G、H,即可,也可以取AD的三等分點G、H。過點G、H分別作BC的垂線;(2)分別取BC、CD的三等分點E、F、G、H,連接AF、AG,即可;(3)此小題綜合性強,抓住已知條件AB∥CD、AE∥BC,所以延長延長CD交AE于G,構(gòu)造平行四邊形ABCG,已知AB=AC=100米,得等腰三角形,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì),過點A作AF⊥BC于F,求得AF的長,就可以求得平行四邊形ABCG的面積。易得DG:CD=,由AF=80,可以得到△DGE的GE邊上的高為:80=30米,得到△DGE的面積,從而可求得五邊形ABCDE的面積為10200(平方米),要將此五邊形的面積三等分,就得出三等分圖形的面積,在△ABC的BC邊取一點H,使△ABH的面積為3400,可以求得BH的長。再求出△ACH的面積,再求出M點的位置,作出直線即可。
【考點精析】掌握平行四邊形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

練習(xí)冊系列答案
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