【題目】已知∠ABC=60°,點D是其角平分線上一點,BD=CD=6,DE//AB交BC于點E.若在射線BA上存在點F,使,請寫出相應的BF的長:BF=_________
【答案】2或4.
【解析】
過點D作DF1∥BE,求出四邊形BEDF1是菱形,根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DF1,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點,過點D作DF2⊥BD,求出∠F1DF2=60°,從而得到△DF1F2是等邊三角形,然后求出DF1=DF2,再求出∠CDF1=∠CDF2,利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等,根據(jù)全等三角形的面積相等可得點F2也是所求的點,然后在等腰△BDE中求出BE的長,即可得解.
如圖,過點D作DF1∥BE,易求四邊形BEDF1是菱形,
所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,
此時S△DCF1=S△BDE;
過點D作DF2⊥BD,
∵∠ABC=60°,F1D∥BE,
∴∠F2F1D=∠ABC=60°,
∵BF1=DF1,∠F1BD=∠ABC=30°,∠F2DB=90°,
∴∠F1DF2=∠ABC=60°,
∴△DF1F2是等邊三角形,
∴DF1=DF2,
∵BD=CD,∠ABC=60°,點D是角平分線上一點,
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°,
∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°,
∠CDF2=360°-150°-60°=150°,
∴∠CDF1=∠CDF2,
∵在△CDF1和△CDF2中,
,
∴△CDF1≌△CDF2(SAS),
∴點F2也是所求的點,
∵∠ABC=60°,點D是角平分線上一點,DE∥AB,
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°,
又∵BD=6,
∴BE=×6÷cos30°=3÷=2,
∴BF1=BF2=BF1+F1F2=2+2=4,
故BF的長為2或4.
故答案為:2或4.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】綜合題,如圖,正方形ABCD。
(1)請在圖①中作兩條直線,使它們將正方形ABCD的面積三等分;
(2)如圖②,在矩形ABCD中,AB=6,BC=9,在圖②中過頂點A作兩條直線,使它們將矩形ABCD的面積三等分,井說明理由;
(3)如圖③,農(nóng)博園有一塊不規(guī)則的五邊形ABCDE空地,其中AB∥CD、AE∥BC,AB=AC=100米,AE=160米,BC=120米,CD=62.5米,根據(jù)視覺效果和花期特點,農(nóng)博園設計部門想在這片空地種上等面積的三種不同的花,要求從入口A點處修兩條筆直的小路(小路的面積忽略不計)方便游客賞花,兩條小路將這塊地面積三等分.請通過計算畫圖說明其設計部們能否實現(xiàn),若能實現(xiàn)請確定小路盡頭的位置.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】心理學家研究發(fā)現(xiàn),一般情況下,一節(jié)課40分鐘中,學生的注意力隨教師講課的變化而變化.開始上課時,學生的注意力逐步增強,中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài),隨后學生的注意力開始分散.經(jīng)過實驗分析可知,學生的注意力指數(shù)y隨時間x(分鐘)的變化規(guī)律如下圖所示(其中AB、BC分別為線段,CD為雙曲線的一部分):
(1)求出線段AB,曲線CD的解析式,并寫出自變量的取值范圍;
(2)開始上課后第五分鐘時與第三十分鐘時相比較,何時學生的注意力更集中?
(3)一道數(shù)學競賽題,需要講19分鐘,為了效果較好,要求學生的注意力指數(shù)最低達到36,那么經(jīng)過適當安排,老師能否在學生注意力達到所需的狀態(tài)下講解完這道題目?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,.點是射線上一動點(與點不重合),、分別平分和、分別交射線于點,.
(1)①的度數(shù)是________;
②,________;
(2)求的度數(shù);
(3)當點運動時,與之間的數(shù)量關系是否隨之發(fā)生變化?若不變化,請寫出它們之間的關系,并說明理由;若變化,請寫出變化規(guī)律.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的弦,D為OA半徑的中點,過D作CD⊥OA交弦AB于點E,交⊙O于點F,且CE=CB.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)連接AF、BF,求∠ABF的度數(shù);
(3)如果BE=10,sinA= ,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知矩形ABCD的三個頂點B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C.動點P從點A出發(fā),沿線段AB向點B運動.同時動點Q從點C出發(fā),沿線段CD向點D運動.點P,Q的運動速度均為每秒1個單位.運動時間為t秒.過點P作PE⊥AB交AC于點E.
(1)直接寫出點A的坐標,并求出拋物線的解析式;
(2)過點E作EF⊥AD于F,交拋物線于點G,當t為何值時,△ACG的面積最大?最大值為多少?
(3)在動點P,Q運動的過程中,當t為何值時,在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)存在點H,使以C,Q,E,H為頂點的四邊形為菱形?請直接寫出t的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,將沿平移,且使點平移到點,平移后的對應點分別為.
(1)寫出兩點的坐標;
(2)畫出平移后所得的;
(3)五邊形的面積
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】動手操作:
如圖,已知AB∥CD,點A為圓心,小于AC長為半徑作圓弧,分別交AB,AC于E,F兩點,再分別以點E,F為圓心,大于EF長為半徑作圓弧,兩條圓弧交于點P,作射線AP,交CD于點M.
問題解決:
(1)若∠ACD=78°,求∠MAB的度數(shù);
(2)若CN⊥AM,垂足為點N,求證:△CAN≌△CMN.
實驗探究:
(3)直接寫出當∠CAB的度數(shù)為多少時?△CAM分別為等邊三角形和等腰直角三角形.
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