Question

【題目】（探究）

（1）觀察下列算式，并完成填空：

1=12

1+3=4=22；

1+3+5=9=32；

1+3+5+7=16=42；

1+3+5+…+（2n-1）=______．（n是正整數(shù)）

（2）如圖是某市一廣場用正六邊形、正方形和正三角形地板磚鋪設的圖案，圖案中央是一塊正六邊形地板磚，周圍是正方形和正三角形的地板磚．從里向外第一層包括6塊正方形和6塊正三角形地板磚；第二層包括6塊正方形和18塊正三角形地板磚；以此遞推．

①第3層中分別含有______塊正方形和______塊正三角形地板磚；

②第n層中含有______塊正三角形地板磚（用含n的代數(shù)式表示）．

（應用）

該市打算在一個新建廣場中央，采用如圖樣式的圖案鋪設地面，現(xiàn)有1塊正六邊形、150塊正方形和420塊正三角形地板磚，問：鋪設這樣的圖案，最多能鋪多少層？請說明理由．

Answer 1

【答案】【探究】n2；（2）① 6，30；②6（2n-1）或12n-6；【應用】鋪設這樣的圖案，最多能鋪8層，理由見解析

【解析】

一．探究（1）觀察算式規(guī)律，1+3+5+…+（2n-1）=n2；

（2）①第一層6塊正方形和6塊正三角形地板磚，第二層6塊正方形和6+12=18塊正三角形地板磚，第三層6塊正方形和18+12=30塊正三角形地板磚；

②第一層6=6×1=6×（2×1-1）塊正三角形地板磚，第二層18=6×3=6×（2×2-1）塊正三角形地板磚，第三層30=6×5=6×（2×3-1）塊正三角形地板磚，第n層6=6×1=6（2n-1）塊正三角形地板磚，

二．應用

150塊正方形地板磚可以鋪設這樣的圖案150÷6=25（層），鋪設n層需要正三角形地板磚的數(shù)量為：6[1+3+5+…+（2n-1）]=6n2，6n2=420，n2=70，n= ，8＜n＜9，所以420塊正三角形地板磚最多可以鋪設這樣的圖案8層．因此鋪設這樣的圖案，最多能鋪8層．

解：一.探究

（1）觀察算式規(guī)律，1+3+5+…+（2n-1）=n2，

故答案為n2；

（2）①∵第一層包括6塊正方形和6塊正三角形地板磚，

第二層包括6塊正方形和6+12=18塊正三角形地板磚，

∴第三層包括6塊正方形和18+12=30塊正三角形地板磚，

故答案為6，30；

②∵第一層6=6×1=6×（2×1-1）塊正三角形地板磚，

第二層18=6×3=6×（2×2-1）塊正三角形地板磚，

第三層30=6×5=6×（2×3-1）塊正三角形地板磚，

∴第n層6=6×1=6（2n-1）塊正三角形地板磚，

故答案為6（2n-1）或12n-6．

二．應用

鋪設這樣的圖案，最多能鋪8層．

理由如下：

∵150÷6=25（層），

∴150塊正方形地板磚可以鋪設這樣的圖案25層；

∵鋪設n層需要正三角形地板磚的數(shù)量為：6[1+3+5+…+（2n-1）]=6n2，

∴6n2=420，n2=70，n=．

又∵8＜ ＜9，即8＜n＜9，

∴420塊正三角形地板磚最多可以鋪設這樣的圖案8層．

∴鋪設這樣的圖案，最多能鋪8層．