Question

【題目】如圖1，已知點A（a，0），B（0，b），且a、b滿足 ，ABCD的邊AD與y軸交于點E，且E為AD中點，雙曲線 經(jīng)過C、D兩點．

（1）求k的值；
（2）點P在雙曲線 上，點Q在y軸上，若以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，試求滿足要求的所有點P、Q的坐標；
（3）以線段AB為對角線作正方形AFBH（如圖3），點T是邊AF上一動點，M是HT的中點，MN⊥HT，交AB于N，當T在AF上運動時， 的值是否發(fā)生改變？若改變，求出其變化范圍；若不改變，請求出其值，并給出你的證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ +（a+b+3）2=0，且 ≥0，（a+b+3）2≥0，

∴ ，

解得： ，

∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），

∵E為AD中點，

∴xD=1，

設D（1，t），

又∵DC∥AB，

∴C（2，t﹣2），

∴t=2t﹣4，

∴t=4，

∴k=4；

（2）

解：∵由（1）知k=4，

∴反比例函數(shù)的解析式為y= ，

∵點P在雙曲線 上，點Q在y軸上，

∴設Q（0，y），P（x， ），

①當AB為邊時：

如圖1所示：

若ABPQ為平行四邊形，則 =0，解得x=1，此時P1（1，4），Q1（0，6）；

如圖2所示；

若ABQP為平行四邊形，則 = ，解得x=﹣1，此時P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；

如圖3所示；

②當AB為對角線時：AP=BQ，且AP∥BQ；

∴ = ，解得x=﹣1，

∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；

故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；

（3）

解：連NH、NT、NF，

∵MN是線段HT的垂直平分線，

∴NT=NH，

∵四邊形AFBH是正方形，

∴∠ABF=∠ABH，

在△BFN與△BHN中，

∵ ，

∴△BFN≌△BHN，

∴NF=NH=NT，

∴∠NTF=∠NFT=∠AHN，

四邊形ATNH中，∠ATN+∠NTF=180°，而∠NTF=∠NFT=∠AHN，

所以，∠ATN+∠AHN=180°，所以，四邊形ATNH內(nèi)角和為360°，

所以∠TNH=360°﹣180°﹣90°=90°．

∴MN= HT，

∴ = ．

【解析】（1）先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，故可得出A、B兩點的坐標，設D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出t的值即可；（2）由（1）知k=4可知反比例函數(shù)的解析式為y= ，再由點P在雙曲線 上，點Q在y軸上，設Q（0，y），P（x， ），再分以AB為邊和以AB為對角線兩種情況求出x的值，故可得出P、Q的坐標；（3）連NH、NT、NF，易證NF=NH=NT，故∠NTF=∠NFT=∠AHN，∠TNH=∠TAH=90°，MN= HT由此即可得出結(jié)論．
【考點精析】利用反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質(zhì):當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減��； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大．