Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點D是邊BC上一動點（不與B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點E，且cosα= ．下列結論：①△ADE∽△ACD；②當BD=6時，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時，BD為8；④0＜CE≤6.4．其中正確的結論是 ． （把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：作AH⊥BC于H，如圖，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=α，BH=CH，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，所以①正確；
在Rt△ABH中，cosB= ，
∴BH=10× =8，
∴BC=2BH=16，
當BD=6，則CD=10，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠EDC=∠BAD，
在△ABD與△DCE中
，
∴△ABD≌△DCE，所以②正確；
∵∠B=∠C，∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
△DCE為直角三角形，當∠DEC=90°，則∠ADB=90°，BD為8；當∠EDC=90°，則∠BAD=90°，BD= = ，所以③錯誤；
設BD=x，則CD=16﹣x，
由△ABD∽△DCE得 = ，即 = ，
∴CE=﹣ （x﹣8）2+6.4，
∴CE的最大值為6.4，
∴0＜CE≤6.4，所以④正確．
所以答案是①②④．
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．