【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy,已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx的圖象過點A(4,0),頂點為B,連接AB、BO.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若C是BO的中點,點Q在線段AB上,設(shè)點B關(guān)于直線CQ的對稱點為B',當(dāng)△OCB'為等邊三角形時,求BQ的長度;
(3)若點D在線段BO上,OD=2DB,點E、F在△OAB的邊上,且滿足△DOF與△DEF全等,求點E的坐標(biāo).
【答案】(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x;(2)BQ=;(3)點E的坐標(biāo)為:(,0)或(,)或(2+,2﹣)或(4,0).
【解析】
試題(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)先求出OB和AB的長,根據(jù)勾股定理的逆定理證明∠ABO=90°,由對稱計算∠QCB=60°,利用特殊的三角函數(shù)列式可得BQ的長;
(3)因為D在OB上,所以F分兩種情況:
i)當(dāng)F在邊OA上時,ii)當(dāng)點F在AB上時,
當(dāng)F在邊OA上時,分三種情況:
①如圖2,過D作DF⊥x軸,垂足為F,則E、F在OA上,②如圖3,作輔助線,構(gòu)建△OFD≌△EDF≌△FGE,③如圖4,將△DOF沿邊DF翻折,使得O恰好落在AB邊上,記為點E;當(dāng)點F在OB上時,過D作DF∥x軸,交AB于F,連接OF與DA,依次求出點E的坐標(biāo)即可.
試題解析:(1)將點A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式得:﹣×42+4b=0,解得b=2,
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x.
(2)∵y=﹣x2+2x=﹣(x﹣2)2+2,
∴B(2,2),拋物線的對稱軸為x=2.
如圖1所示:
由兩點間的距離公式得:OB= =2,BA= =2.
∵C是OB的中點,
∴OC=BC=.
∵△OB′C為等邊三角形,
∴∠OCB′=60°.
又∵點B與點B′關(guān)于CQ對稱,
∴∠B′CQ=∠BCQ=60°.
∵OA=4,OB=2,AB=2,
∴OB2+AB2=OA2,
∴∠OBA=90°.
在Rt△CBQ中,∠CBQ=90°,∠BCQ=60°,BC=,
∴tan60°= ,
∴BQ=CB=×=.
(3)分兩種情況:
i)當(dāng)F在邊OA上時,
①如圖2,過D作DF⊥x軸,垂足為F,
∵△DOF≌△DEF,且E在線段OA上,
∴OF=FE,
由(2)得:OB=2,
∵點D在線段BO上,OD=2DB,
∴OD=OB= ,
∵∠BOA=45°,
∴cos45°= ,
∴OF=ODcos45°= =,
則OE=2OF=,
∴點E的坐標(biāo)為(,0);
②如圖3,過D作DF⊥x軸于F,過D作DE∥x軸,交AB于E,連接EF,過E作EG⊥x軸于G,
∴△BDE∽△BOA,
∴ =,
∵OA=4,
∴DE=,
∵DE∥OA,
∴∠OFD=∠FDE=90°,
∵DE=OF=,DF=DF,
∴△OFD≌△EDF,
同理可得:△EDF≌△FGE,
∴△OFD≌△EDF≌△FGE,
∴OG=OF+FG=OF+DE=+=,EG=DF=ODsin45°=,
∴E的坐標(biāo)為(,);
③如圖4,將△DOF沿邊DF翻折,使得O恰好落在AB邊上,記為點E,
過B作BM⊥x軸于M,過E作EN⊥BM于N,
由翻折的性質(zhì)得:△DOF≌△DEF,
∴OD=DE=,
∵BD=OD=,
∴在Rt△DBE中,由勾股定理得:BE= =,
則BN=NE=BEcos45°=×=,
OM+NE=2+,BM﹣BN=2﹣,
∴點E的坐標(biāo)為:(2+,2﹣);
ii)當(dāng)點F在AB上時,
過D作DF∥x軸,交AB于F,連接OF與DA,
∵DF∥x軸,
∴△BDF∽△BOA,
∴ ,
由拋物線的對稱性得:OB=BA,
∴BD=BF,
則∠BDF=∠BFD,∠ODF=∠AFD,
∴OD=OB﹣BD=BA﹣BF=AF,
則△DOF≌△DAF,
∴E和A重合,則點E的坐標(biāo)為(4,0);
綜上所述,點E的坐標(biāo)為:(,0)或(,)或(2+,2﹣)或(4,0).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,在“勾股”章中有這樣一個問題:“今有邑方二百步,各中開門,出東門十五步有木,問:出南門幾步而見木?”
用今天的話說,大意是:如圖,是一座邊長為200步(“步”是古代的長度單位)的正方形小城,東門位于的中點,南門位于的中點,出東門15步的處有一樹木,求出南門多少步恰好看到位于處的樹木(即點在直線上)?請你計算的長為__________步.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,中,,,,動點從點出發(fā)以的速度向點移動,同時動點從點出發(fā)以的速度向點移動,設(shè)它們的運動時間為.
(1)為何值時,的面積等于面積的;
(2)運動幾秒時,與相似?
(3)在運動過程中,的長度能否為?試說明理由
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年5月,以“尋根國學(xué),傳承文明”為主題的蘭州市第三屆“國學(xué)少年強一國學(xué)知識挑戰(zhàn)賽”總決賽拉開帷幕,小明晉級了總決賽.比賽過程分兩個環(huán)節(jié),參賽選手須在每個環(huán)節(jié)中各選擇一道題目.
第一環(huán)節(jié):寫字注音、成語故事、國學(xué)常識、成語接龍(分別用表示);
第二環(huán)節(jié):成語聽寫、詩詞對句、經(jīng)典通讀(分別用表示)
(1)請用樹狀圖或列表的方法表示小明參加總決賽抽取題目的所有可能結(jié)果
(2)求小明參加總決賽抽取題目都是成語題目(成語故事、成語接龍、成語聽寫)的概率。
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】尺規(guī)作圖
任務(wù)一:下面是小希設(shè)計的“過直線外一點作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:直線l及直線外一點P.
求作:直線PQ,使得PQ∥l.
作法:如圖
①在直線l上取一點O,連接OP,以點O為圓心,OP為半徑畫圓,交直線l與點A和點B;②連接AP,以點B為圓心,AP長為半徑在直線l上方畫弧交⊙O于點Q;
③作直線PQ.
所以直線PQ就是所求作的直線.
根據(jù)小希設(shè)計的尺規(guī)作圖步驟完成下列問題:
(1)在圖1中使用直尺和圓規(guī),補全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)證明:PQ∥l
任務(wù)二:已知:直線l及直線l外一點M.
請根據(jù)下列提供的數(shù)學(xué)原理,選擇其一,在圖2中使用直尺和圓規(guī)作直線MN,使得MN∥l.(保留作圖痕跡,不寫作法)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,PA、PB是⊙O的切線,A、B為切點,∠OAB=30°.
(1)求∠APB的度數(shù);
(2)當(dāng)OA=3時,求AP的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,下列條件中不能判定這兩個三角形相似的是( )
A. ∠A=55°,∠D=35°
B. AC=9,BC=12,DF=6,EF=8
C. AC=3,BC=4,DF=6,DE=8
D. AB=10,AC=8,DE=15,EF=9
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個不透明的口袋中裝有4個球,分別是紅球和白球,這些球除顏色外都相同,將球攪勻,先從中任意摸出一個球,恰好摸到紅球的概率為.
(1)求口袋中有幾個紅球?
(2)先從中任意摸出一個球,從余下的球中再摸出一個球,請用列表法或樹狀圖法求兩次摸到的球中一個是紅球和一個是白球的概率.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com