Question

【題目】尺規(guī)作圖

任務(wù)一：下面是小希設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程．

已知：直線l及直線外一點(diǎn)P．

求作：直線PQ，使得PQ∥l．

作法：如圖

①在直線l上取一點(diǎn)O，連接OP，以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑畫圓，交直線l與點(diǎn)A和點(diǎn)B；②連接AP，以點(diǎn)B為圓心，AP長為半徑在直線l上方畫弧交⊙O于點(diǎn)Q；

③作直線PQ．

所以直線PQ就是所求作的直線．

根據(jù)小希設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖步驟完成下列問題：

（1）在圖1中使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）證明：PQ∥l

任務(wù)二：已知：直線l及直線l外一點(diǎn)M．

請根據(jù)下列提供的數(shù)學(xué)原理，選擇其一，在圖2中使用直尺和圓規(guī)作直線MN，使得MN∥l．（保留作圖痕跡，不寫作法）

Answer 1

【答案】任務(wù)一：（1）畫圖見解析；（2）證明見解析；任務(wù)二：畫圖見解析

【解析】

(1)按照題目所給出的作法，用尺規(guī)作出圖形即可；(2)根所作圖1，先利用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系推出∠AOP＝∠BOQ，再證明∠AOP＝∠OPQ，由內(nèi)錯(cuò)角相等即可證明； (3)原理一通過用尺規(guī)作出同位角構(gòu)造平行線，原理二通過作三角形的中位線構(gòu)造平行線，原理三通過作平行四邊形構(gòu)造平行線.

（1）如圖，

（2）證明：如圖1，連接OQ，BQ，

在⊙O中，由作圖知AP＝BQ，∴∠AOP＝∠BOQ

∴，

又∵OP＝OQ，∴∠OPQ＝∠OQP，

∴，

∴∠AOP＝∠OPQ，∴PQ∥l；

（3）如圖所示：