Question

【題目】如圖，直線x=﹣4與x軸交于點(diǎn)E，一開口向上的拋物線過原點(diǎn)交線段OE于點(diǎn)A，交直線x=﹣4于點(diǎn)B，過B且平行于x軸的直線與拋物線交于點(diǎn)C，直線OC交直線AB于D，且AD：BD=1：3．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F．

由題意，可知OF=AF，則2AF+AE=4①．

∵DF∥BE，

∴△ADF∽△ABE，

∴ = = ，即AE=2AF②，

①與②聯(lián)立，解得AE=2，AF=1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）；

（2）

解：∵拋物線過原點(diǎn)（0，0），

∴可設(shè)此拋物線的解析式為y=ax2+bx．

∵拋物線過原點(diǎn)（0，0）和A點(diǎn)（﹣2，0），

∴對(duì)稱軸為直線x= =﹣1，

∵B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣4，

∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，

∴BC=2﹣（﹣4）=6．

∵拋物線開口向上，

∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，

∴當(dāng)△OBC是等腰三角形時(shí)，分兩種情況討論：

①當(dāng)OB=BC時(shí)，設(shè)B（﹣4，y1），

則16+ =36，解得y1=±2 （負(fù)值舍去）．

將A（﹣2，0），B（﹣4，2 ）代入y=ax2+bx，

得 ，解得 ．

∴此拋物線的解析式為y= x2+ x；

②當(dāng)OC=BC時(shí)，設(shè)C（2，y2），

則4+ =36，解得y2=±4 （負(fù)值舍去）．

將A（﹣2，0），C（2，4 ）代入y=ax2+bx，

得 ，解得 ．

∴此拋物線的解析式為y= x2+ x．

綜上可知，若△OBC是等腰三角形，此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y= x2+ x或y= x2+ x

【解析】（1）過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，由拋物線的對(duì)稱性可知OF=AF，則2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出 = = ，即AE=2AF②，①與②聯(lián)立組成二元一次方程組，解出AE=2，AF=1，進(jìn)而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）先由拋物線過原點(diǎn)（0，0），設(shè)此拋物線的解析式為y=ax2+bx，再根據(jù)拋物線過原點(diǎn)（0，0）和A點(diǎn)（﹣2，0），求出對(duì)稱軸為直線x=﹣1，則由B點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣4得出C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，BC=6．再由OB＞OC，可知當(dāng)△OBC是等腰三角形時(shí)，可分兩種情況討論：①當(dāng)OB=BC時(shí)，設(shè)B（﹣4，y1），列出方程，解方程求出y1的值，將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx，運(yùn)用待定系數(shù)法求出此拋物線的解析式；②當(dāng)OC=BC時(shí)，設(shè)C（2，y2），列出方程，解方程求出y2的值，將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2+bx，運(yùn)用待定系數(shù)法求出此拋物線的解析式．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．