【題目】已知銳角的余弦值為,點在射線上,,點在的內部,且,.過點的直線分別交射線、射線于點、.點在線段上(點不與點重合),且.
(1)如圖1,當時,求的長;
(2)如圖2,當點在線段上時,設,,求關于的函數解析式并寫出函數定義域;
(3)聯結,當與相似時,請直接寫出的長.
【答案】(1);(2);(3)或
【解析】
(1)由銳角三角函數可求AC=15,根據勾股定理和三角形面積公式可求AB,AF的長,即可求EF的長;
(2)通過證△FAE∽△FCA和△BDE∽△CFA,可得y關于x的函數解析式;
(3)分△ADF∽△CEA,△ADF∽△CAE兩種情況討論,通過等腰三角形的性質和相似三角形性質可求BD的長.
解:(1)在中
(2)過點作于點
,,
,,
又,
,,
,,
(3)如圖,若△ADF∽△CAE,
∵△△ADF∽△CEA,
∴∠ADF=∠AEC,
∵∠EAF=∠MBN,∠EAF+∠DAF=180°,
∴∠DAF+∠MBN=180°,
∴點A,點F,點B,點D四點共圓,
∴∠ADF=∠ABF,
∴∠ADF=∠AEC=∠ABF,
∴AB=AE,
∵∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠ACB=90°,且∠ABF=∠AEC,∠ACB=∠MBN=∠EAF,
∴∠AEC+∠EAF=90°,∠AEC+∠MBN=90°,
∴∠BDE=90°=∠AFC,
∵S△ABC=×AB×AC=×BC×AF,
∴AF,
∴BF=,
∵AB=AE,∠AFC=90°,
∴BE=2BF=32,
∴cos∠MBN=,
∴BE=,
如圖,若△ADF∽△CAE,
∵△ADF∽△CAE,
∴∠ADF=∠CAE,∠AFD=∠AEC,
∴AC//DF
∴∠DFB=∠ACB,且∠ACB=∠MBN,
∴∠MBN=∠DFB,
∴DF=BD,
∵∠EAF=∠MBN,∠EAF+∠DAF=180°,
∴∠DAF+∠MBN=180°,
∴點A,點F,點B,點D四點共圓,
∴∠ADF=∠ABF,
∴∠CAE=∠ABF,且∠AEC=∠AEC,
∴△ABE∽△CAE
∴
設CE=3k,AE=4k,(k≠0)
∴BE=,
∵BC=BECE=25
∴k=
∴AE=,CE=,BE=
∵∠ACB=∠FAE,∠AFC=∠AFE,
∴△AFC∽△EFA,
∴,
設AF=7a,EF=20a,
∴CF=,
∵CE=EFCF=,
∴a=,
∴EF=,/p>
∵AC//DF,
∴,
∴,
故答案為:或
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,將拋物線y=﹣x2平移后經過點A(﹣1,0)、B(4,0),且平移后的拋物線與y軸交于點C(如圖).
(1)求平移后的拋物線的表達式;
(2)如果點D在線段CB上,且CD=,求∠CAD的正弦值;
(3)點E在y軸上且位于點C的上方,點P在直線BC上,點Q在平移后的拋物線上,如果四邊形ECPQ是菱形,求點Q的坐標.
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【題目】 一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光,航行80海里至C處時發(fā)生了側翻沉船事故,立即發(fā)出了求救信號,一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號,測得事故船在它的北偏東37°方向,馬上以40海里每小時的速度前往救援,求海警船到大事故船C處所需的大約時間.(溫馨提示:sin53°≈0.8,cos53°≈0.6)
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【題目】某文具店用1200元購進了A、B兩種羽毛球拍.已知A種羽毛球拍進價為每副12元,B種羽毛球拍進價為每副10元.文教店在銷售時A種羽毛球拍售價為每副15元,B種羽毛球拍售價為每副12元,全部售完后共獲利270元.
(1)求這個文教店購進A、B兩種羽毛球拍各多少副?
(2)若該文教店以原進價再次購進A、B兩種羽毛球拍,且購進A種羽毛球拍的數量不變,而購進B種羽毛球拍的數量是第一次的2倍,B種羽毛球拍按原售價銷售,而A種羽毛球拍降價銷售.當兩種羽毛球拍銷售完畢時,要使再次購進的羽毛球拍獲利不少于340元,A種羽毛球拍最低售價每副應為多少元?
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【題目】如圖,點P在平行四邊形ABCD的邊BC上,將△ABP沿直線AP翻折,點B恰好落在邊AD的垂直平分線上,如果AB=5,AD=8,tanB=,那么BP的長為_____.
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【題目】如圖,點A是反比例函數y=(k>0,x>0)圖象上一點,B、C在x軸上,且AC⊥BC,D為AB的中點,DC的延長線交y軸于E,連接BE,若△BCE的面積為8,則k的值為_____.
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【題目】如圖,在半⊙O中,AB是直徑,點D是⊙O上一點,點C是的中點,CE⊥AB于點E,過點D的切線交EC的延長線于點G,連接AD,分別交CE,CB于點P,Q,連接AC,關于下列結論:①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③點P是△ACQ的外心;④AC2=CQCB,其中結論正確的是______.
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【題目】如圖,拋物線y=-x2+bx+c的頂點為C,對稱軸為直線x=1,且經過點A(3,-1),與y軸交于點B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(3)經過點A的直線交拋物線于點P,交x軸于點Q,若S△OPA=2S△OQA,試求出點P的坐標.
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