Question

【題目】已知：正方形ABCD，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)B作射線BM交正方形的一邊于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)O．

（1）若BF⊥AE，

①求證：BF＝AE；

②連接OD，確定OD與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，且BF＝AE，求BO的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②OD＝AB．證明見解析；（2）①BO＝或BO＝.

【解析】

（1）①如圖1①，要證BF＝AE，只需證△ABE≌△BCF，只需證到∠BAE＝∠CBF即可；

②延長(zhǎng)AD，交射線BM于點(diǎn)G，如圖1②，由△ABE≌△BCF可得BE＝CF，由此可得CF＝DF，從而可證到△DGF≌△CBF，則有DG＝BC，從而可得DG＝AD，然后運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解決問題；

（2）可分點(diǎn)F在CD上和點(diǎn)F在AD上兩種情況進(jìn)行討論．當(dāng)點(diǎn)F在CD上時(shí)，如圖2①，易證Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），則有∠BAE＝∠CBF，由此可證到∠AOB＝90°，然后在Rt△ABE中，運(yùn)用面積法就可求出BO的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)F在AD上時(shí)，如圖2②，易證Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），則有∠BAE＝∠ABF，根據(jù)等角對(duì)等邊可得OB＝OA，根據(jù)等角的余角相等可得∠AEB＝∠EBF，根據(jù)等角對(duì)等邊可得OB＝OE，即可得到OA＝OB＝OE，只需求出AE的長(zhǎng)就可解決問題．

（1）①如圖1①，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∵BF⊥AE，

∴∠CBF+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠CBF，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴BF＝AE；

②OD＝AB．

證明：延長(zhǎng)AD，交射線BM于點(diǎn)G，如圖1②，

∵△ABE≌△BCF，

∴BE＝CF．

∵E為BC的中點(diǎn)，

∴CF＝BE＝BC＝DC，

∴CF＝DF．

∵DG∥BC，

∴∠DGF＝∠CBF．

在△DGF和△CBF中，

，

∴△DGF≌△CBF，

∴DG＝BC，

∴DG＝AD．

∵BF⊥AE，

∴OD＝AG＝AD＝AB；

（2）①若點(diǎn)F在CD上，如圖2①，

在Rt△ABE和Rt△BCF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），

∴∠BAE＝∠CBF，

∵∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠CBF+∠AEB＝90°，

∴∠AOB＝90°．

∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，

∴AE＝＝2 ．

∵S△ABE＝ABBE＝AEBO，

∴BO＝．

②若點(diǎn)F在AD上，如圖2②，

在Rt△ABE和Rt△BAF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），

∴∠BAE＝∠ABF，

∴OB＝OA．

∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，

∴∠AEB＝∠EBF，

∴OB＝OE，

∴OA＝OB＝OE．

∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，

∴AE＝＝2，

∴OB＝AE＝．

綜上所述：BO的長(zhǎng)為或．