如圖，已知拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，且Rt△AOC∽Rt△COB，求△ABC的面積．

【答案】分析：根據(jù)拋物線的解析式求得點C的坐標，然后由相似三角形的對應邊成比例即可求得a的值，即拋物線的解析式；然后由一元二次方程x2-x+3=0的根與系數(shù)的關系可以求得AB的長度；最后根據(jù)三角形的面積公式即可求得△ABC的面積．
解答：解：設拋物線與x軸的交點的坐標為A（x1，0）、（x2，0）．
∵當x=0時，y=3，
∴拋物線與y的交點C的坐標為（0，3）．
∵Rt△AOC∽Rt△COB，
∴OC2=OA•OB（相似三角形的對應邊成比例），
∴OC2=x1•x2，即32=，
解得，a1=，或a2=-（不合題意，舍去），
故該拋物線的解析式為：y=x2-x+3．
令y=0，則x2-x+3=0，
解得x1+x2=4，x1•x2=9，
則AB=|x2-x1|==2，
故S△ABC=AB•OC=×2×3=3．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、拋物線與x軸的交點．注意，該題中a的符號需根據(jù)拋物線的開口方向來確定．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知拋物線交x軸于點A、點B，交y軸于點C，且點A（6，0），點C（0，4），AB=5OB，設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形．
（1）求拋物線解析式及頂點坐標；
（2）求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？
（4）是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•錦州二模）如圖，已知拋物線交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C，已知點B（8，0），tan∠OCB=2，△ABC的面積為8．
（1）求拋物線的表達式；
（2）若平行于x軸的動直線EF從點C 出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于E、F兩點，動點P同時從點B出發(fā)在線段BO上以每秒2個單位的速度運動，連接PF、AF，設運動時間為t秒．△AFP的面積為S，求S與t的函數(shù)表達式；
（3）在（2）的條件下，是否存在t值，使得以P、B、F為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知拋物線交x軸于C（x1，0），D（x2，0）兩點，（x1<x2）且

    （1）試確定m的值；

    （2）過點A（－1，－5）和拋物線的頂點M的直線交x軸于點B，求B點的坐標；

    （3）設點P（a，b）是拋物線上點C到點M之間的一個動點（含C、M點），是以PO為腰、底邊OQ在x軸上的等腰三角形，過點Q作x軸的垂線交直線AM于點R，連結PR。設的面積為S，求S與a之間的函數(shù)關系式。

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知拋物線交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B．

1.求A、B兩點的坐標，并求直線AB的解析式；

2.設（）是直線上的一點，Q是OP的中點（O是原點），以PQ為對角線作正方形PEQF．若正方形PEQF與直線AB有公共點，求x的取值范圍；

3.在（2）的條件下，記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S，求S關于x的函數(shù)解析式，并探究S的最大值．

 

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科目：初中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省初三第二學期質量檢查數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知拋物線交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B.

1.求直線AB的解析式；

2.設P（x，y）（x>0）是直線y = x上的一點，Q是OP 的中點（O是原點），以PQ為對角線作正方形PEQF，若正方形PEQF與直線AB有公共點，求x的取值范圍；

3.在（2）的條件下，記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S，求S關于x的函數(shù)解析式，并探究S的最大值．

 

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